黎曼函数的连续性(黎曼函数的连续性怎么判断) 收藏 0

分析学的5大“步”：微积分到函数论、泛函分析、微分方程

微积分是研究函数的微分、积分性质及其应用的数学分支学科，并成为数学其他分支的基础，也是其他自然科学和工程技术的必备工具。现在微积分学教程，通常的目录次序是极限、微分、积分，正好与历史顺序相反。微积分最初关注的问题是计算面积、体积和弧长：

• 公元前3世纪，阿基米得“穷竭法”最接近于积分法，用于计算圆周率及面积、周长；
• 1609年，开普勒借助某种积分方法，计算了行星运动第二定律中包含的面积，和酒桶的体积；
• 1635年，卡瓦列利发表不可分元法的论文，提出卡瓦列利原理，用于计算面积和体积；
• 1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系统化，并进行推广。

微分起源于作曲线的切线和函数的极大值、极小值问题。

• 首位真正的先驱工作是，费尔马于1629年陈述的概念；
• 1669年，巴罗使用了微分三角形，这已经很接近现代微分法。同时，他也是首个充分认识到微分法与积分法是逆运算的人。

微积分后续的发展与完善工作。

• 牛顿和莱布尼兹彼此独立地创造一般的符号和一整套形式的解析规则，形成可以应用的微积分学；
• 到17世纪末，大部分微积分内容已经建立起来。1696年，洛比达出版第一部微积分教材；
• 1769年，欧拉论述了二重积分；
• 1773年，拉格朗日考察了三重积分；
• 1837年，波尔查诺给出了级数的现代定义；
• 19世纪，柯西奠基了分析学的严谨化。比如他给出极限、连续性定义，将导数定义为差商的极限、定积分定义为和的极限等等；
• 在柯西工作的基础上，威尔斯特拉斯给出了现在使用的精确的极限定义，并同狄德金、康托尔于19世纪70年代建立了严格的实数理论，使微积分建立在了坚固的基础上。

复数产生于于16世纪，其广泛运用在于18世纪。其中复变函数就是把复数作为自变量，主要研究解析函数的性质。复变函数的研究始于18世纪，于19世纪得到全面发展。

• 18世纪三四十年代，欧拉利用幂级数讨论了初等复变函数的性质；
• 1752年，达朗贝尔得出复变函数可微的必要条件；
• 拉普拉斯考虑过复变函数的积分；
• 1825年，柯西讨论了虚限定积分，1831年推出了柯西积分公式，并依此建立了一整套复变函数微分和积分的理论；
• 1851年，黎曼的博士论文《复变函数论的基础》，奠基了复变函数论。他推广了单位解析函数到多位解析函数；引入了“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变因数的几何理论基础；证明了保角映射基本定理；
• 威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观，以幂级数为工具，用严密的纯解析推理展开了函数论。并将解析函数定义为可以展开为幂级数的函数，围绕着奇点对函数性质进行研究。

现代，复变函数论是解决飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等工程技术问题的有力工具。

实变函数的发展较晚，其中积分论是其重要组成部分。作为线段长度概念的推广，引入了容度和测度，推广了积分的概念。

• 1893年，约当给出了“约当容度”的概念，并用于讨论积分；
• 1894年，斯提捷首先推广了积分概念，得到“斯提捷积分”；
• 1898年，波莱尔改进了容度的概念，并称之为‘测度”；
• 1902年，勒贝格改进了测度理论，建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”等概念。1904年，他完全解决了黎曼可积性的问题。

函数构造论是实变函数的另一个活跃领域。1885年，威尔斯特拉斯证明：连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。威尔斯特拉斯的这一结果和切比雪夫斯基最佳逼近论，是函数构造论的开端。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，形成于20世纪30年代，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

更详细介绍，可参考：

伴随着微积分的发展，以及客观物质世界中关于物质运动规律的描述，都促进了常微分方程、偏微分方程的发展。而随着物理科学、工程技术所研究领域的广度和深度的扩展，微分方程的应用范围也越来越广泛。反过来，从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面的发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

更多微分方程的内容，请参考：

只是想看懂黎曼猜想而已

黎曼猜想作为一个著名的世界性数学难题，目前还无人能证明其真与假。我们作为凡人，不奢想破解，只求能看懂黎曼的奇思妙构，是怎样构架出来这猜想而已！

黎曼猜想：黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2！

目标求证

一、缘起

Zeta函数：

变量：n、r

欧拉乘积公式推导：

消去分母有因子2的项：

再消除分母因子有3的项：

如此反复，消除所有分母因子项，即所有质因子项：

即得：

简写为欧拉乘积公式：

欧拉乘积公式

意义：因为任何一个大于1的自然数，要么是一个质数，要么可以表示成若干个质数的乘积，而且这种质因数分解是唯一的。

数n，质因数唯一分解：

一个数被数p整除的概率为1/p，不被p整除的概率即为(1-1/p )，两个数同时不被p整除的概率为(1-1/p²)…有n个数不被p整除的概率为（1-1/pⁿ）。n个数不被m

个质因数整除的概率为：

(1-1/p₁ⁿ)(1-1/p₂ⁿ)…(1-1/pmⁿ)

任选s个自然数，它们互质的概率就是1/ζ(s)：

当s > 1的时候，ζ(s) 是一个减函数。随着s的增大，ζ(s)在减小，所以ζ(s)的倒数在增大，也就是说s个自然数互质的概率在增大。随着s趋于无穷大，s个自然数互质的概率会趋近于100%。

对于非整数的s，ζ(s)仍有明确定义的，只不过不跟所谓“s个自然数互质的概率”联系即可！

欧拉乘积公式和ζ函数中的“s”，其定义域是大于1的！

二、莫比乌斯重写ζ函数

为什么要重写？

消除质数平方因子项，减少数项

莫比乌斯重写ζ级数表达式

莫比乌斯函数定义：

莫比乌斯函数的取值只有三种可能：0和±1。

如果n可以被任何一个质数的平方整除，也就是说在它的质因数分解中有一个质因数出现了二次或更高次方，那么μ(n) = 0。

如果n不能被任何一个质数的平方整除，即n的任何一个质因数都只出现一次，此时来数质因数的个数。质因数有偶数个，那么μ(n)= 1；而假如质因数有奇数个，那么μ(n) = -1。

莫比乌斯重写ζ函数后式子包含：

1）所有素数；

2）所有可写为奇数个不同素数的乘积的自然数，前缀一个负号；

3）所有可写为偶数个不同素数的乘积的自然数，前缀一个正号。

参见下式：

莫比乌斯重写ζ级数的展开式

莫比乌斯函数与黎曼素数计数函数J(x)、素数计数函数π(x)关系：

三、黎曼函数方程

左边的表达式在把s换成1 – s时，也保持不变。也就是说将s定义域从大于1，解析延拓至s小于0。

黎曼函数方程对称式

1、黎曼函数方程推导过程：

伽玛函数

伽玛函数定义式之一

拓展到复平面，则

伽玛函数恒等式

伽玛函数定义式

设

巧换元

代入化简：

移项整理

两边同时做级数运算

左右同时对n求和作级数，现ζ级数

注意积分时应用公式参见下式，可有助于最后化简。

2、定义ψ(x)：

n为自然数

图1

分割区间，定义域从x≥0，分割成x≥1和1≥x≥0，积分：

图2

3、定义θ(x)

z为整数

分割区间，当k=0，

θ(x)=1

当k=-1，-2，-3……

θ(x) = ψ(x)

和k=1，2，3……

θ(x) = ψ(x)

因此，当k为整数Z域时：

θ(x) = 1 + 2 ψ(x)

这个函数是满足

图3

见证明：

图4 傅里叶变换，指数配平方

化简

图5

图5代入图4，化简可得得证图3。

因为：

θ(x) = 1 + 2 ψ(x)……(a)

θ(1/x) = 1 + 2 ψ(1/x)……(b)

由图3得出的θ(x)关系式，结合以上(a)(b)两式可得：

图6

图6代入图2：

图7

图1、图2、图7合并简化可得：

图8

即等式右边关于s和1-s对称！即s关于以1/2为实部的对称！s≠0，s≠1 。s = 0 和 s = 1 两处奇点。

ζ（s）函数移项整理式

可得黎曼函数对称性公式：

黎曼函数方程对称式

结合余元公式（欧拉反射公式），求出Γ(s/2)，

余元公式

再利用勒让德倍元公式，得到Γ（1-s）,

勒让德倍元公式

最后整理可得ζ函数方程：

定义域s小于1

s的定义域由大于1，成功解析延拓至-s+1，即s＜0。

4、分析规则收敛区域（即复变量 s 的实部大于 1）以外的区域中的函数，该函数需要重新定义。

ζ函数的新定义在除 s = 1 这一奇点/简单极点外的 Re(s) > 0 半平面上解析。

狄利克雷η函数：

狄利克雷η函数与ζ函数关系式

即：ζ函数级数的每一项乘以2*2^s，再减去，得系数（1-2^(1-s)）且获得±项交替的狄利克雷级数，类似下式规律：

狄利克雷级数式样

η函数定义：

η级数定义

ζ、η函数关系

η、Γ函数关系，η的积分定义：

η函数定义式

狄利克雷η函数方程：

定义域解析延拓至复数域

5、零点分析

零点分为两种类型，分别被称作黎曼 ζ 函数的“平凡”和“非平凡”零点。

黎曼函数方程解析延拓

5.1 实部 0 ≤ Re(s) ≤ 1 时存在的零点，分析下面定义的黎曼ξ函数。

定义了无奇点的黎曼 ξ函数：（即图8中，右边弃积分部分，保留第一项和左边，移项后，分母分子颠倒后，重新定义，原极点就变零点！）

ζ(s)函数用1-s 代替 s，大括号中的第一项是不变的，单独列出来重新定义，移除了 s=0 和 s=1 两处奇点！

黎曼 ξ函数 ξ(s)，当 ζ(s) = 0 时有零点。原ζ(s)的极点就成功转化为研究ξ(s)的零点了。

对称函数

该函数关于垂线 Re(s) = 1/2 对称，使得 ξ(1) = ξ(0)、ξ(2) = ξ(-1) 等等。黎曼 ξ函数 ξ(s) 只在区间 0 ≤ Re(s) ≤ 1 内有零点。换句话说，黎曼 ξ函数的零点对应于黎曼 ζ函数的零点。在某种意义上，黎曼 ζ 函数的临界线 R(s) = 1/2 对应于黎曼 ξ函数 ξ(s) 的实数线（Im(s) = 0）。

结合图8推导出来的公式，可得xi函数研究零点公式

黎曼ξ函数可变形为：

偶函数，黎曼猜想：ξ函数零点（非平凡零点）总是在实部为1/2的直线上

黎曼 ξ函数研究“非平凡”零点。

5.2 实部 Re(s) < 0 时存在的零点，为“平凡”零点。分析以下函数：

正弦项为零时，该乘积亦为零。kπ处全为零！

5.3 实部 Re(s) ＞1时不存在零点，分析下式：

ζ的欧拉乘积式表示中，我们立刻就会发现 ζ(s) 在 s 的实部大于 1 的区域内不能为零，因为如果其因子之一为零，则收敛的无穷大乘积只能为零，而素数无穷性的证明否定了这一点。

四、黎曼素数计数函数J(x)

1、素数计数函数π（x）：

素数计数函数

莫比乌斯函数

逐个分拆剖析，

黎曼素数计数函数的特点

黎曼素数计数J(x)函数与素数计数π(x)关系

例如：x=100，开7次方后小于2，不可能有小于2的质因数，J(x)后续值为0。我们因此得到的就是 100 以内素数的个数。

举例

π(x)函数图像

2、欧拉乘积公式变换：

取对数

麦克劳林-泰勒级数展开了右边的每一个对数项，创造出一个无限和的无限和，其中每一个无限和都对应于素数级数中的每一项。

各项作等比级数展开

欧拉乘积公式，黎曼展示了可以将离散的素数计数函数表示成连续的积分求和。

微积分的语言，将ζ 函数 ζ(s) 与黎曼素数计数函数 J(x) 连接在一个等价于欧拉乘积公式的恒等式中。

3、分析黎曼素数计数函数J(x)结构：

“黎曼素数定理”猜测的在一给定数量 x 以内的素数个数，能更准确地估计数字 x 及其内存在多少个素数。

3.1 分析J（x）函数第一项：

对数积分函数Li(x)定义式

对数积分函数定义

对数积分函数图像

“主项”为对数积分 Li(x)，它是根据素数定理对素数计数函数 π(x) 更好的估计。它是目前为止最大的项，它高估了多少包含给定值x以内的素数个数。

3.2、分析J(x)函数第二项

函数形式仍然是对数积分函数，表示黎曼ζ函数的非平凡零点。

ζ函数的这些零点叫做平凡零点，s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候，ζ(s)必然等于0。

“周期项”为 x 的 ρ 次幂对 ρ 的对数积分求和。用来调整主项高估的项。

3.3 第三项为常量

-log(2) = -0.6993147…

3.4 第四项，即在 x < 2 上为零的积分，因为没有素数小于 2。当该积分约等于0.1400101… 时，它在2处有最大值 。

4、素数定理

素数定理的内容，其实就是小于等于x的质数个数π(x)约等于Li(x)。说得严格一点，就是当x趋于无穷时，π(x)与Li(x)的比值趋于1。在x很大的时候，Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成，π(x)约等于x/lnx。

在x附近的一个自然数是质数的概率，大约是1/lnx。与此同时，在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率，也大约是1/lnx。

π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。

对数积分函数 Li(x)，素数计数函数 π(x) 和 x/ln(x) 一起绘制，函数图像比较。

5、“黎曼素数函数”与“素数定理”对比

黎曼素数计数函数 J(x) 与素数计数函数 π(x)，到周期项会导致该函数“谐振”并开始接近素数计数函数 π(x) 的形状。

黎曼的显式函数，可以将包括给定数值x以内的素数近似到非常高的精度。

黎曼发表的论文《论小于给定数值的素数个数》，短小精炼。也许在他看来，各种公式顺手牵来，各种结论自然而然，

视频加载中…

但对于普罗大众，还是很坚深难啃！一句话，我们脑袋中的知识还是太少了，看看看，查查查，都很不容易，更何况查到了，还要啃啃啃，啃个明白！看得心焦如焚，为知识的荒芜而惶惶不安！

学习张朝阳，还得拼命读书，不服气，不服光阴虚度！

微积分的基石：极限的概念

在微积分学科中，极限（Limit）通常是指在某个过程下，例如一个函数（或数列）在自变量（或指标）趋近于某个值（允许是无穷 ）时，函数（或数列）的行为。它是理解导数、积分以及许多其他数学工具的基础。

极限描述的是函数 f(x) 在 x 趋近于某个值 a 时的行为。如果当 x 无限接近 a 时，f(x) 无限接近某个值 L，那么我们说 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L，记作：

意味着对于任意小的正数 ϵ>0，都存在一个正数 δ>0，使得当0<∣x−a∣<δ时，有∣f(x)−L∣<ϵ。

简单来说，无论 ϵ 多小，只要 x 足够接近 a，f(x) 就会足够接近 L。

• 唯一性：如果极限存在，那么它是唯一的。
• 局部有界性：如果存在，那么 f(x) 在 a 的某个邻域内是有界的。
• 四则运算：

1. 加法：
2. 乘法：
3. 除法：如果 ，则

• 导数的定义：导数f′(a) 是函数 f(x) 在 x=a 处的极限：
• 积分的定义：定积分是黎曼和的极限：
• 连续性：函数 f(x) 在 x=a 处连续的条件是：

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