狄利克雷函数【狄利克雷函数可积吗】 收藏 0

比狄利克雷函数更加诡异的函数

在上一篇文章里，我们谈到了狄利克雷函数，并指出了它所具有的三个诡异的性质：处处不连续，处处不可导，在任意闭区间上不可积。文章的链接如下：

我们还指出，狄利克雷函数其实是一类最简单的病态函数，这就意味着存在比狄利克雷函数更加复杂，更加诡异的函数，本篇文章就带着读者开一开脑洞，自己来想办法构造出一些更诡异的函数来。

1.只在一点连续的函数

只在一点不连续的函数非常好构造，只需要把一整个曲线在某一点掰开就可以了，而狄利克雷函数则是在所有点都不连续的。那么如何来构造只在一点处连续的函数呢？我们可以把狄利克雷函数稍微改造一下，变成下面这个样子：

为了让大家直观地理解，我们近似地把它的图像画出来

千万要注意！这只是它近似的图像，而真正的图像我们是不可能画出来的，因为有理数和无理数都是密密麻麻地分布在实数轴上的。

这个函数只在 x=0 处连续，在其它点均不连续，我们来说明这一点。在x不等于0的地方，如果是有理点，则函数的取值也不为0，但是在它附近任意小的邻域内，都包含无数多个无理点，在那上面函数取值一定是0，函数趋近于这一点时是无穷震荡形式的，因而极限不存在，也就不可能连续。同样如果x在无理点出，那么这一点的函数取值为0，但是在它的任意领域之内都包含无数多个有理点，那些点处函数取值不为0，因此它也是一个无穷震荡形式的，故而极限也不存在，亦不连续。

那么它为什么在 x=0 处就连续了呢？我们还是根据连续性的定义，即它在这一点的函数值等于极限值来证明。首先有f(0)=0，然后我们利用夹逼定理来求函数在这一点的极限值：

所以我们得到了函数值等于极限值，于是函数在0这一点连续。

上面这个例子只是让大家初步领略了一下病态函数的威力，以此为基础，还可以构造出更多的病态函数，具有更加诡异的性质。

2.只在一点处可导的函数

我们把上面的函数再稍加改造一下，得到如下函数：

我们还是先来近似地画一下它的函数图像：

这个函数的性质就是只在 x=0 处可导。那下面来证明这个结论。首先在 x≠0 的地方，根据我们类似于上面的函数的论证，该函数一定是不连续的，不连续一定不可导。

而在 x=0 的地方，f(0)=0，根据导数的定义，那就是下面这个式子当x趋近0时的极限

而上面这个函数刚好就是节1里边构造出来那个函数，因此当x趋近于零时的极限，我们刚才已经论证过，是存在的并且等于0，因此f(x)在 x=0 处是可导的，并且 f\'(0)=0。

3.只在两点处连续的函数

就比如我们想构造一个只在 x=1 和 x=2处连续的函数。根据上面的经验，我们只需要找一个在 x=1 和 x=2 处等于0，在其余的点不等于0的连续函数，然后再把它改造成狄利克雷型的函数，比如我可以这样构造：

它的近似图像是:

这个函数同上面的论证方法几乎是一样的，同学们可以自己尝试一下。比如当x=2的时候，可以利用夹逼定理得到x趋近于2的左侧和x趋近于2的右侧时，函数极限都是0，同时f(2)也是0，因此它的这点是连续的，x=1的时候情形类似。而除去这两个点之外，其它点都是不连续的。于是这个函数就只在两点处连续。

4.只在两点处可导的函数

还是根据上面的经验，我们只需要把只在两点处连续的函数，乘以一个该点处的高阶无穷小，即可以得到只在两点处可导的函数，即

它的近似图像如下：

我们还是来说明一下它在 x=1 和 x=2 处可导，就拿x=2举例子，我们需要计算下列函数当x趋近于2时的极限：

而这个函数可以计算x趋近2时极限就是0，因此f(x)在 x=2 时可导并且f\'(2)=0。同样的方法可以得到f(x)在 x=1 时可导并且f\'(1)=0。

5.只在x=1，2，3，4，… 等整数点处连续的函数

遵循相同的思路，我们只需要找一个在x=1，2，3，4，… 处等于0的连续函数就可以了，最简单的例子就是sin(πx)，于是我们构造：

它的近似图像是

通过相同的论证，我们可以得到它在x=1，2，3，4，… 处是连续的，在其他地方均不连续。

.只在x=1，2，3，4，… 等整数点处可导的函数

还是遵循前面的思路，我们只需要把上述函数每一个零点处乘以一个更高阶的无穷小就可以了，直接的方法就是把自己平方一下，因为自己本身就是一个无穷小。即如下的函数

它的近似图像是

其论证方法跟前面几节基本相同，这里就不再赘述了。

7.在x=1，1/2，1/3，1/4，… 这些点连续的函数

那我们就需要寻找一个在这些点等于0的函数，最简单的一个例子就是我们在高等数学里面曾经接触过的无穷震荡函数y=sin(π/x)，于是我们这样来构造

它的近似图像比较恐怖

这个函数图像之所以这么恐怖，是因为sin(πx)本就是是一个在零点处无穷震荡的函数，因此把它变成狄利克雷型函数之后，就是由无数多个密密麻麻的点组成的，并且越靠近零点就越密集。但是我们仍然可以通过数学论证得到它只在x=1，1/2，1/3，1/4，… 这些点连续。

8.在x=1，1/2，1/3，1/4，… 这些点可导的函数

接下来的事情就顺理成章了，把上面的函数平方一下，就得到了我们想要的函数

它的近似图像是

就到此为止吧，虽然我们举了这么多的例子，但还只是病态函数微不足道的一小部分。我们还有更多、更复杂、更诡异的函数，他们所具备的性质是我们在初等函数中完全无法想象的。比如大名鼎鼎的函数——黎曼函数

我们还可以以黎曼函数为基础构造出更多病态函数来。

病态函数的出现，使人们对于函数的认识提高到一个新的境界，在这一历史进程中，狄利克雷的贡献是不可磨灭的！

算术级数中的素数——数学天才狄利克雷的解析数论

狄利克雷特征——解析数论中不可或缺的工具

研究素数最强大的工具之一是狄利克雷特征理论——解析数论“之父”的一项伟大发明。然而，在解释它们是什么之前，我们将首先尝试理解为什么需要它们。

好主意

1805年的法国，诞生了一位天才。他的名字叫彼得·古斯塔夫·勒琼·狄利克雷。狄利克雷在 12 岁时就对数学产生了兴趣，并于 1822 年前往巴黎求学。

几年后，他证明了费马大定理的一个特例的一部分，即n = 5的情况。这使他在数学界名声大噪。必须考虑到，唯一解决的其他特殊情况是费马自己解决的n = 4和欧拉解决的情况n = 3。所以这是一件大事。它还显示了 Dirichlet 对数论的兴趣，这在后来变得很明显。

1826 年，狄利克雷移居柏林，在那里他开始产生有趣的成果，并为学生提供了引人入胜的教育。1832年，狄利克雷成为普鲁士科学院最年轻的院士，年仅27岁。

然后在 1837 年，狄利克雷开始思考一个将彻底改变我们研究整数的方式的问题。数学家们知道有无限多个素数（欧几里得在公元前 300 年证明了），但在当时研究自然数有趣子集中的素数似乎遥不可及。但后来狄利克雷有了一个好主意。

当时的先驱们正在积极发展复分析领域，狄利克雷在这个新的热门领域拥有大量的分析工具。他的绝妙想法是使用这些工具来研究整数，从而将复分析和数论结合起来。

他想要解决的问题是以下陈述：

对于任意两个互质正整数 a 和 m，存在无限多个 a + nm 形式的质数，其中 n 是正整数。

数列{a + nm} = {a + m, a + 2m, a + 3m, …}称为算术级数。我们观察到序列中任意两个连续数字之间的距离是常数——在上面的例子中是m。

当没有素数可以整除两个整数时，我们将两个整数定义为互素（或互素）。上面关于素数的陈述中等差数列的这种限制是需要成立的，因为否则就会有一个素数除以数列中的所有数字，这当然意味着其中不可能有无限多个素数。

狄利克雷证明了这个命题，现在这个定理以他的名字命名。它被称为等差级数的狄利克雷定理。为了证明这一点，狄利克雷发明了一类完全可乘的函数，现在称为狄利克雷特征。狄利克雷给出的证明不仅定义了解析数论的新课题，而且是证明实际上比定理说的更多的情况。稍后会详细介绍。

狄利克雷特征

令m为自然数。模数为m的狄利克雷特征是一个函数 χ: ℤ → ℂ 从整数到满足以下陈述的复数。

1. x(ab) = x(a)x(b)。
2. 如果gcd(a, m) > 1则χ(a) = 0否则χ(a) ≠ 0。
3. χ(a + m) = χ(a)。

从这些属性中，可以导出其他几个属性。例如，根据上面的第二个属性χ(1) ≠ 0，无论模数如何，因此我们可以除以它，所以我们有χ(1)χ(1) = χ(1⋅1) = χ(1)其中意味着所有字符的χ(1) = 1。所以我们有

5. 对所有的 χ(1) = 1。

6. 我们看到χ(-1)² = χ((-1)²) = χ(1) = 1，因此χ(-1) = 1或χ(-1) = -1。

我们称这个标志为性格的平价；如果χ(-1) = 1，则称该字符为偶数，如果χ(-1) = -1，则称其为奇数。

请注意，对于任何模数m，我们都有一个特殊字符，称为主字符χ0 mod m。它由以下定义

此外，我们有一个开箱即用的明显事实。回想一下a ≡ b (mod m) 当且仅当 m | a – b这里的符号表示m 除 a – b。

7. 如果a ≡ b (mod m)则上面的第三个属性表示χ(a) = χ(b)。

其他几个属性是可推导的。特征符最重要的性质之一是它们都是乘法群之间的同态，因此在复平面的单位圆上取值。我们不会在这里讨论字符的组方面，但是有丰富的理论可以将它们推广到除整数mod m的单位以外的组。

在我们继续之前，我们还需要知道两件事。

第一个是以伟大的数学家莱昂哈德·欧拉命名的算术函数，称为欧拉总 函数ϕ。我们定义ϕ(n)为小于n的互质正整数的个数，即。自然数 k < n 使得 gcd(k, n) = 1。例如，ϕ(10) = 4因为有4个小于 10 的自然数与 10 互质。

我们需要的第二件事是关于狄利克雷特征的事实，称为正交关系。

这里的总和是在所有具有模数 m的字符上，第一个字符上的横线是字符的复共轭，这仅仅意味着我们改变了χ(a)的虚部的符号。

从欧拉到 L 函数

与许多伟大的数学故事一样，这个故事从欧拉开始。

欧拉研究了 zeta 函数（定义如下）并发现了素数和自然数之间的美妙联系，称为欧拉积。结果如下，让s > 1，然后

其中右侧的产品接管所有质数。第一个方程是定义，第二个是已证明的定理。

s 实际上可以是一个复数，但在欧拉的时代，复数分析还处于起步阶段，他只考虑s 的实数值。这里定义的函数就是著名的zeta 函数。

这实际上给了我们另一个证明，即有无限多个素数！如果我们让s → 1，左侧趋于无穷大使得右侧也发散，但这只有在乘积包含无限多个因子时才有可能。

其实，仔细考察一下，还可以多说一点。欧拉指出，如果你对等式两边取对数，就会发生一些有趣的事情。

这里的log表示自然对数。现在，回想一下对数的泰勒级数展开

其中 x 允许取[-1, 1)区间内的值以使右侧的级数收敛。在我们的log ζ表达式中，当s > 1并且任何素数都大于1时，我们就有这样的例子。这样我们得到

从右边s → 1 。

最后一个表达式只是一种奇特的说法，即log ζ(s) = ∑ 1/p^s加上某个有界函数（有界意味着对于某个正实常数 M，绝对值小于 M）。

有很多方法可以证明这个渐近界。一种方法是回到对数和。我们可以通过微积分的各种方法证明，如果0 < x ≤ 1/2那么-log(1 – x) < x + x²。在下雨的下午，这实际上是一项很好的锻炼！

由于1/p^s ≤ 1/2对于所有素数p和s > 1，我们可以使用这个小引理并代入得到

这显示了欧拉对巴塞尔问题的著名解决方案的明确界限和很好的应用。

通过这种更仔细的方法，我们已经确定不仅有无限多个素数，而且素数上的级数∑ 1/p发散！

通过这种方式，我们可以自信地说，在自然数中，素数比平方更密集。

尽管素数的倒数之和发散得非常慢。事实上，从上面我们可以看出，它的发散近似于log log x。

这是一个增长极其缓慢的函数。例如，要使这个函数超过数字 4，我们需要 x 大于 e^e⁴，这是一个 24 位数字！

狄利克雷的想法是试图将这个结果推广到素数的子集，即等差级数中的素数。请注意，以下等差数列 { n, n+m, n + 2m, n + 3m, …}可以表示为{k | k ≡ n (mod m)}。

换句话说，Dirichlet 想要证明如果gcd(a, m) = 1，我们得到的结果是

分歧。

为了做到这一点，狄利克雷有了第二个奇迹般的洞察力。事实证明，zeta 函数有许多表亲，它们显示出许多与 zeta 函数相同的属性，包括欧拉积。这类函数是狄利克雷的第二大发明！

由于狄利克雷特征完全可乘，其对应的狄利克雷级数也有欧拉积。具体来说，我们有关于字符 χ的狄利克雷 L 级数的定义。

我们假设 s > 1。

这也可以为复数 s 定义，事实上，通过解析延拓，这个函数可以扩展为整个复平面上的亚纯函数，然后称为狄利克雷 L 函数。

当在复平面上定义 zeta 函数时，它被称为黎曼 zeta 函数。

由于所有狄利克雷特征都是完全可乘的，因此该级数也有欧拉积。

请注意，具有平凡特征的狄利克雷 L 级数的定义，即对所有 n 的 χ(n) = 1，为我们提供了通常的 zeta 函数及其欧拉积。这使得狄利克雷 L 函数成为 zeta 函数的推广。

事实上，这些函数与黎曼 zeta 函数非常相似，以至于它们不仅拥有等价的欧拉积，而且还围绕直线Re(s) = 1/2具有漂亮的对称关系。此外，它们有望满足黎曼猜想的等价陈述，但在撰写本文时尚未证明这一点。

在这些概括中，偶数字符和奇数字符之间存在一些区别，以及它们是否具有称为原始性的属性，但这有点超出本文的讨论范围。

狄利克雷证明

一旦 Dirichlet 建立了字符的欧拉积，下一个合乎逻辑的步骤就是再次对两边取对数以获得素数的总和。

再一次，通过与上述类似的论证，我们可以使用渐近法将其重写为

回想一下，这只是意味着当s 从右侧开始 → 1时，右侧的总和大致像左侧一样增长。该声明当然可以进一步形式化，但这是总体思路。

从这里狄利克雷有了一个好主意。他使用正交关系将其变成他想要的形式。具体来说，如果我们在上式两边乘以χ(a)的复共轭，然后对所有具有模数 m的字符求和，则我们得到以下结果。

这真太了不起了。狄利克雷使用他的特征定义了一个（全纯）函数作为算术级数{a, a + m, a + 2m, a + 3m, …}中所有素数的总和。

现在，狄利克雷“只”需要证明左侧发散为s → 1。

证明这一点的策略是通过将字符分组为三个不相交的集合（实际上，这是一个分区！）来将证明分成案例。

1. 主要特征 χ0,
2. 复数字符 (∃n: χ(n) ∉ ℝ),
3. 二次字符（χ² = χ0，但 χ ≠ χ0）。

这样做的原因之一是对于任何非主要字符 χ 事实证明，序列L(s, χ)在s > 0时收敛。

该策略是证明L(s, χ0)在s = 1处有一个简单的极点，即相应的 L 系列发散，并且如果 χ 是一个非主字符，则 L(1, χ) ≠ 0。

第二个陈述的原因是我们需要确保 L(s, χ0) 的极点不会被“ log(0) ”这样的表达式形式的负无穷大吃掉。所以我们需要确保这两件事。

第一条命题很简单，可以通过多种方式证明。例如，可以检查

并观察到除以右侧模数 m的素数的乘积始终是有限的——实际上，您可以检查它是否等于ϕ(m)/m当s = 1时。因此，左侧的级数在s = 1处继承了 ζ 的极点。

因此，重要的是要证明对于任何非主要字符，L(1, χ) ≠ 0。

复杂的情况相对容易，因为如果我们对相应的 L 系列的所有字符进行乘积 ‖ L(s, χ)，那么首先，可以证明 ‖ L(s, χ) ≥ 1。可以做这是通过将 L 系列的对数写为另一个系列（涉及Von Mangoldt 函数），在这种情况下更容易处理。

其次，由于主要特征的 L 系列对于s → 1发散，乘积中最多只能有一个零因子，否则，它会是 0，与它大于1相矛盾。但是，如果 χ 是一个复数字符，那么它的复数共轭也是如此，并且它们是不同的，但如果一个为零，另一个也为零。因此，对于复数 χ，L(1, χ) ≠ 0。

二次情况有点微妙，超出了本文的范围。

总结

狄利克雷发明了一个新的数学领域和许多新的抽象方法。在这个证明中，他使用了一些现代抽象概念。应该注意的是，狄利克雷在他的证明中使用的符号与我们更现代的符号非常不同。他还首先证明了仅考虑素数模数的定理，由于群论的考虑，这更容易。

数学中最大的谜团—素数分布，从狄利克雷定理到广义黎曼假设

在数论的广阔领域中，素数的分布一直是一个引人入胜的谜题，无数的数学家投入了巨大的热情和智慧去探索这个问题。特别地，对于特定形式的算术数列中素数的分布，学界已经取得了一系列的重大进展。我们将从基本的素数计数函数π(x)讲起，逐步深入到狄利克雷定理和狄利克雷L-函数，探索它们如何帮助我们理解并估计这类素数的分布规律。

对于直到x为止的素数的个数，这个数作为x的函数就记为

有了好的估计以后，就可以再来求mod q同余于a的素数的个数。实际上，求π(x)也就可以说是求mod 1同余于1的素数个数。把这个量记为

首先注意到，mod 4同余于2的素数只有一个，而事实是，如果a和q有大于1的公因子，则在算术数列a，a+q，a+2q，…中最多只有一个素数。用φ(q)来记在1≤a≤q中适合条件(a，q)=1的整数a的个数。

这里记号(a,q)表示a和q的最大公因子(gcd))

这时，在无穷多的素数中，除了很少的有限多个以外，一定都属于φ(q)个算术数列a，a+q，a+2q，…之一，这里1≤a≤q，而且(a,q)=1。计算显示了素数似乎是平均地分布在这φ(q)个算术数列中，所以可以猜想，在每一个这样的算术数列中，素数所占的比例极限是1/φ(q)。这就是说，只要(a,q)=1，就可以猜想，当x→∞时，

• (1)

但是，甚至mod q同余于a的素数有无限多个也不是显然的，著名的狄利克雷素数定理告诉我们这种素数有无穷多个，就是说，当(a,q)=1时，在算术数列a，a+q，a+2q，…中包含了无穷多个素数。要开始研究这种问题，首先需要一种有系统的方法在确定一个整数是否mod q同余于a的，为此，狄利克雷提供了一种现在通称为狄利克雷特征的函数。形式地说，一个mod q的特征，就是一个由Z到C的函数，

它具有以下三个性质，而这三个性质的重要性是逐渐递增的：

1. 当n和q有大于1的公因子时，χ(n)=0；
2. χ mod q是周期的；
3. χ是乘法的，即对任意的整数m和n，x(mn)=x(m)x(n))。

mod q的特征的一个容易但又重要的例子是这样一个函数χ(n)：当(n,q)=1时，它的值为1，否则为0。这个特征称为主特征（principal character）记作χ_g。如果q是一个素数，则另一个这样的例子是勒让德符号

如果n是q的倍数，就令

如果n是q的平方剩余，就令它为1；而如果n是q的平方非剩余，就令它为-1。

一个整数n称为mod q平方剩余，就是指nmod q同余于一个完全平方，否则就称它为平方非剩余。

如果q是一个合数，则有一个称为勒让德-雅可比符号的函数，作为勒让德符号的推广，也是一个特征。这也是一个重要的例子，它以一个不太直接的方式帮助我们识别出mod q的平方数。

这些特征都是实值的，但是这只是特例而非通则。下面是q=5时一个真正复值的特征的例子。令

如果n≡0(mod 5)，等于i如果n≡2(mod 5)，等于-1如果n≡4(mod 5)，等于-i如果n≡3(mod 5)，等于1如果n≡1(mod 5)。为了看出它是一个特征，只要注意到2(mod 5)的各次幂分别是2，4，3，1，2，4，3，1，…，而i的各次幂分别是i，-1，-i，1，i，-1，-i，1，….

可以证明，只有恰好Φ(q)个不同的mod q的特征。它们对于我们的用处来自上面说的它们的限制，以及以下的公式，其中是对所有的mod q的特征求和，而且

这个公式能为我们做些什么？理解mod q同余于a的整数的集合，就是理解了一个当n≡a(mod q)时为1而其他时候为0的函数，上式右方就是这个函数。然而这个函数用起来并不是特别好用，而特征是好用得多的函数，因为它们具有乘法性质。所以我们通过上式的左方把右方的函数写成特征的线性组合。这个线性组合中，相应于特征χ(n)的系数就是

由这个公式就可以得到

左方的和数就是我们早前考虑所有素数时和数的自然的修正。如果对于其右方每一个和式

都能得到一个好的估计，就能够估计此式的右方了。我们处理这些和式的办法很像以前的做法，这样得到类似于下面的显式的公式，

不过其中出现的不再是黎曼ζ(s)的零点，而是狄利克雷L函数

的零点。这个函数的性质很像ζ(s)。特别是χ的乘法性质在这里特别重要，因为它将给出类似于

的公式：

就是说狄利克雷L函数L(s,χ)也有一个欧拉乘积。我们也相信“广义黎曼假设”成立，即L(ρ,χ)=0在临界带形中的零点p都适合条件Re(ρ)=1/2。这将蕴含着对于直到x为止的mod q同余于a的素数的个数可以估计如下：

所以，蕴含着我们希望得到的估计，只要x稍大于q²即可。

在什么样的范围内可以无条件地——即不必借助广义黎曼假设——证明(1)式？虽然可以或多或少地把素数定理的证明翻译到这个背景下来，我们发现，它只对于很大的x给出(1)式。事实上，x需要大于一个以q为幂的指数，这就比从广义黎曼假设得出的“只要x稍大于q²”要大得多。我们就看见，在这里出现了一种新类型的问题，就是要找到可以得出好的估计的x的范围的一个好的起点，这个起点应是模q的函数。在我们对于素数定理的探求中没有这样的类似物。

顺便说一下，哪怕只是证明“只要x稍大于q²”即可得出(1)式，也远非当前的数学方法之所能及，何况这也似乎还不是最好的答案。计算揭示了只要x稍大于q，(1)式就可能成立。所以，想要告诉我们素数分布的精确的性态，甚至黎曼假设及其推广也还是力所不逮。

在整个20世纪中，花了大量的思索想把狄利克雷L函数的零点约束在Re(s)=1的附近。结果是对于确定能使(1)式成立的x的范围，有了很大的改进，条件是没有西格尔零点在。对于以

为特征χ的L函数

这个假想的零点将是一个实数β，而且β>1-c/√q。可以证明，这种西格尔零点哪怕是存在的，也是极为罕见的。

西格尔零点的罕见是Deuring-Heilbronn现象的推论，这个现象就是：L函数的零点，犹如赋有同号电荷的粒子，是互相排斥的，这个现象也类似于不同的代数数互相排斥这个事实，这是丢番图逼近这个学科的基础的一部分。

当(a,q)=1时，最小的mod q同余于a的素数有多大？尽管有可能有西格尔零点存在，我们仍然可以证明，如果q充分大，则一定有小于q^5.5的这样一个素数存在。如果没有西格尔零点存在，要得到这样一个结果并不太难。如果没有西格尔零点存在，就又回到了类似于下面的显式公式，

但是是关于L(s,χ)的零点的。如果β是一个西格尔零点，则在这个显式公式中，有两个明显的大项：

和

当

时，看来它们几乎可能相抵消（因为β接近于1），但是如果我们仔细一点，就会得到

这是一个比以前小的主项，但是不难证明，它的贡献仍然比所有其他零点合起来的贡献更大，因为Deuring-Heilbronn现象蕴含着这个西格尔零点会排斥其他零点，把它们驱向左方的远处，如果

仍是这两项告诉我们，如果(1-β)logx很小，则直到x处，就会有两倍我们所希望的素数mod q同余于a。

狄利克雷的类数公式指出，当q>6时，

类数总是一个正整数，这就蕴含了

另一个推论是当且仅当

h_-q才很小。这会给予我们关于西格尔零点的信息，因为可以证明

这蕴含了当且仅当

即西格尔零点β时，

当h_-q=1时，这种联系更加直接，可以证明西格尔零点β近似于

这些联系说明，得出h_-q的好的下界，等价于得出西格尔零点的范围的好的界限。西格尔证明了对于任意的ε>0，必存在一个常数

使得

他的证明不能令人满意，因为这个证明的本性给不出

的显式的值来。为什么？因为他的证明分成两个部分，第一部分假设广义黎曼假设成立，这时一个显式的值很容易得出。第二部分用广义黎曼假设的第一个反例得出了一个下界。所以，如果广义黎曼假设是成立的，[则不能用第二部分]，但是它还没有得到证明，[所以也不能用第一部分]，这样，西格尔的证明就不能用来探求显式的界限了。可以用显式的东西来证明的和不能用显式的东西来证明的，在解析数论中，二者之间形成了一个既宽又深的鸿沟，这种鸿沟的出现，总是来自应用西格尔的结果。

一个整系数多项式在以整数值代入以后不能总是取素数值。为了看到这一点，注意如果p可以整除f(m)，则它也可以整除f(m+p)，f(m+2p)，….然而有许多富于素数值的多项式，一个著名的例子是，

当x=0，1，2，…，39时，它的值都是素数。几乎肯定还有一些二次多项式，能够相继地取更多的素数值，虽然它的系数应该是很大的。如果我们要问一个比较受限制的问题，即何时多项式

对于x=0，1，2，…，p-2都取素数值，则Rabinowitch给出了惊人的答案：当且仅当h_-q=1时会是这样，这里q=4p-1。高斯做过大量的关于类数的计算，而且预言只有9个q值使得h_-q=1，其中最大的是163=4×41-1。在1930年代，研究者们利用Deuring-Heilbronn现象证明了最多还有一个q虽然使h_-q=1，却不在高斯的清单上；而正如这种方法通常会出现的那样，对于这个假定存在的额外的反例q的大小，却得不出其界限。直到1960年代，Baker和Stark才证明了这第10个q不存在，他们所用的方法都与这里所讲的方法相距甚远

事实上，Heegner在1950年代给出了正确的证明，但是他走在时代前面这么远，使得数学家们很难领会他的论证，并相信其所有细节都是对的。

在1980年代，Goldfeld，Gross和Zagier给出了迄今最好的结果，证明了

这一次用的是另一种L函数的零点排斥

的零点的Deuring-Heilbronn现象。

除了极少有的模q以外，素数很好地分布在算术数列中，Bombieri和维诺格拉多夫开发了这个思想而证明了当x略大于q²时（就是在我们“总能”从广义黎曼假设得出的范围内），（1）式“几乎总能”成立，更精确地说，对于给定的大的x，上式对于“几乎所有”小于

以及所有适合(a,q)=1的a总是成立的。所以，不能排除有无穷多个反例的可能性。但是因为这与广义黎曼假设矛盾，我们不相信会是这样。

Barban-Davenport-Haberstam定理给出了一个较弱的结果，但是这个结果对所有的可行的范围都成立：对任意给定的大的x，对“几乎所有”的对子q和a，只要q≤x/(logx)²和(a,q)=1，估计式(1)恒成立。

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