常见反函数图像 常见反函数图像怎么画 收藏 0

反函数是什么？简单的解法和实用技巧让你轻松掌握！

“反函数听起来很难，其实没那么复杂！”反函数是函数学习中的重点和难点，但只要理解了本质和规律，再配合一些技巧，就能轻松搞定！今天，我们就来全面了解反函数的概念、图像关系，以及如何求解简单的反函数。

反函数的本质：反函数是把原函数的输入和输出“反过来”。

• 如果一个函数f的定义是：y = f(x)那么它的反函数就是：x = f⁻¹(y)，也就是把y变成自变量。
• 直白理解： 反函数是找到“x与y互换”的关系。例如：
• 原函数：y = 2x + 1
• 反函数：x = 2y + 1，整理后得：y = (x – 1) / 2

数学意义：反函数表示逆操作。

1. 互为反函数的两个函数，图像关于直线 y = x 对称因为反函数就是把x和y互换，所以它们的图像会呈现“镜像对称”。

• 例子：原函数：y = x²（x ≥ 0）反函数：y = √x图像：两条曲线关于y = x完全对称。

2. 反函数的存在条件：函数必须是“单调”的

• 只有单调递增或递减的函数才有反函数，这样每个输入都有唯一的输出。
• 例子：
• y = x²在x ≥ 0时单调递增，有反函数；
• y = sin(x)在[-π/2, π/2]范围内单调递增，也有反函数。

1️⃣ 交换x和y，再整理

• 步骤：
• 把原函数y = f(x)中的x和y互换，得到x = f(y)。
• 解出y，整理成y = f⁻¹(x)的形式。
• 例子：
• 原函数：y = 2x + 3
• 交换x和y：x = 2y + 3
• 解出y：y = (x – 3) / 2
• 反函数：f⁻¹(x) = (x – 3) / 2

2️⃣ 直接观察规律对于简单的线性函数或常见的基本函数，可以通过观察找到反函数的关系。

• 例子：原函数：y = ax + b反函数：y = (x – b) / a原函数：y = x³反函数：y = ³√x

3️⃣ 注意定义域和值域的互换

• 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
• 例子：
• 原函数：y = √x，定义域x ≥ 0，值域y ≥ 0；
• 反函数：y = x²，定义域y ≥ 0，值域x ≥ 0。

✅ 1. 熟记常见反函数的对照表

• 对数和指数：
• 原函数：y = e^x，反函数：y = ln(x)
• 原函数：y = 10^x，反函数：y = log(x)
• 幂和根：
• 原函数：y = x³，反函数：y = ³√x
• 原函数：y = x²（x ≥ 0），反函数：y = √x

✅ 2. 多练习反函数的图像对称

• 在坐标系上，画出原函数和反函数，同时标出y = x直线，观察它们的对称性。

✅ 3. 注意函数单调性的限制

• 如果函数不是单调递增或递减，要限定定义域再求反函数。

反函数并不可怕，只要掌握这些核心方法：

• 理解概念：x和y互换，找逆关系；
• 利用技巧：交换、整理、观察规律；
• 学会画图：图像关于y = x对称。

记住，函数和反函数的关系，就像钥匙和锁，找到对的方法，你就能轻松解开难题！

评论区聊聊：你觉得反函数最难的地方是什么？还有哪些有趣的解题技巧？ 喜欢这篇内容？点个赞吧！关注我，让我们一起轻松搞定函数难题！

学习数学最重要的是掌握方法，反函数是工具，熟练使用后，它会让你事半功倍！ ❤️

反函数你了解多少？看到这道题基本都放弃了

大家对反函数的第一印象可能就是，自变量和因变量互换位置，函数与反函数关于y=x对称。但是大家常常容易忽略一些问题，比如，什么函数存在反函数？三角函数和反三角函数有什么关系？反函数性质在考研中如何用？

由于反函数在考研中不是重点，因此，反函数的含义和性质往往会成为大家容易忽视的一点，这对想要考高分的同学来说，不是一件好事。

什么函数存在反函数？

是不是任何一个函数都存在反函数呢？

不是，存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时，有且仅有一个y值对应；y取一个具体的数值时，有且仅有一个x值对应。如下图，x取1时，y只取一个数字12，y取12时，x也只能取一个数字1。这就是一一对应关系。

事实上，我们接触更多的是连续函数，而不是离散函数或者分段的不连续的函数。

连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。我们可以通过以下几幅图来理解下连续函数存在反函数的充要条件。

图（A）中函数f(x)是先递增后递减，不是严格单调，因此不存在反函数。从图像上可以明显看到，对于y的某些取值，x的可能取值有两个，说明图（A）中x与y不是一一对应的，自然也就不存在反函数。

图（B）的函数f(x)严格单调递增，因此存在反函数。从图像上也可以清晰看到，对于y的每一个取值，x只有一个值对应；同样，对于x的每一个取值，y只有一个值对应，故图（B）存在反函数。

图（C）的函数是递减函数，但不是严格递减，因此不存在反函数。

连续函数存在反函数的充要条件其实质就是从函数存在反函数的充要条件中推理得出来的。可以结合图形记忆连续函数存在反函数的充要条件。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单点说，就是三角函数的反函数。但其实更具体地、更准确地说法是，反三角函数是三角函数定义在一段单调区间内的反函数。这说明考虑三角函数的反三角函数，必须是在三角函数的一段单调区间内进行。

下面以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例进行说明。

前文说过，连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。从三角函数的图形上看，没有哪个函数在定义域内是严格单调的，但是若将各三角函数缩小到某个区间，三角函数在该区间内就是严格单调的，那么在这个区间内我们就可以定义反三角函数了。

正弦函数sinx在区间[-П/2,П/2]内存在反函数，并记为反正弦函数arcsinx。

余弦函数cosx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余弦函数arccosx。

正切函数tanx在区间[-П/2,П/2]存在反函数，并记为反正切函数arctanx。

余切函数cotx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余切函数arccotx。

通过上图的对比可以发现，函数的定义域就是其反函数的值域，函数的值域就是其反函数的定义域。一定要牢记上方三角函数在哪个区间内定义的反三角函数关系表，这对今后的做题很有帮助。

3.反函数重要考点

在考研中，我们需要注意反函数的两个公式和一条性质。

两个公式就是反函数的一阶导数和二阶导数公式，其导数公式内容和推导过程如下所示。

反函数的另外一条性质也很重要但经常被大家忽略。

反函数这条性质说明，对自变量x连续施加运算法则f和反函数运算法则φ,得到的结果是本身。

大家可以仔细品味下这条性质是如何来的。然后看看下面这道题，你会做么？

初中数学：反函数12个重要考点全梳理

反函数12个重要考点全梳理

【小结】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．

【分析】由题意C（﹣3，3），A（﹣3，1），B（﹣1，3），直线OC与AB的交点坐标为E（﹣2，2），反比例函数图象经过A或B时，k＝﹣3，反比例函数图象经过点E时，k＝﹣4，观察图象即可解决问题．

【小结】本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点问题、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【小结】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．

【小结】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

【变式求解】

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