常见反函数公式;常见反函数公式表 收藏 0

反函数你了解多少？看到这道题基本都放弃了

大家对反函数的第一印象可能就是，自变量和因变量互换位置，函数与反函数关于y=x对称。但是大家常常容易忽略一些问题，比如，什么函数存在反函数？三角函数和反三角函数有什么关系？反函数性质在考研中如何用？

由于反函数在考研中不是重点，因此，反函数的含义和性质往往会成为大家容易忽视的一点，这对想要考高分的同学来说，不是一件好事。

什么函数存在反函数？

是不是任何一个函数都存在反函数呢？

不是，存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时，有且仅有一个y值对应；y取一个具体的数值时，有且仅有一个x值对应。如下图，x取1时，y只取一个数字12，y取12时，x也只能取一个数字1。这就是一一对应关系。

事实上，我们接触更多的是连续函数，而不是离散函数或者分段的不连续的函数。

连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。我们可以通过以下几幅图来理解下连续函数存在反函数的充要条件。

图（A）中函数f(x)是先递增后递减，不是严格单调，因此不存在反函数。从图像上可以明显看到，对于y的某些取值，x的可能取值有两个，说明图（A）中x与y不是一一对应的，自然也就不存在反函数。

图（B）的函数f(x)严格单调递增，因此存在反函数。从图像上也可以清晰看到，对于y的每一个取值，x只有一个值对应；同样，对于x的每一个取值，y只有一个值对应，故图（B）存在反函数。

图（C）的函数是递减函数，但不是严格递减，因此不存在反函数。

连续函数存在反函数的充要条件其实质就是从函数存在反函数的充要条件中推理得出来的。可以结合图形记忆连续函数存在反函数的充要条件。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单点说，就是三角函数的反函数。但其实更具体地、更准确地说法是，反三角函数是三角函数定义在一段单调区间内的反函数。这说明考虑三角函数的反三角函数，必须是在三角函数的一段单调区间内进行。

下面以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例进行说明。

前文说过，连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。从三角函数的图形上看，没有哪个函数在定义域内是严格单调的，但是若将各三角函数缩小到某个区间，三角函数在该区间内就是严格单调的，那么在这个区间内我们就可以定义反三角函数了。

正弦函数sinx在区间[-П/2,П/2]内存在反函数，并记为反正弦函数arcsinx。

余弦函数cosx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余弦函数arccosx。

正切函数tanx在区间[-П/2,П/2]存在反函数，并记为反正切函数arctanx。

余切函数cotx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余切函数arccotx。

通过上图的对比可以发现，函数的定义域就是其反函数的值域，函数的值域就是其反函数的定义域。一定要牢记上方三角函数在哪个区间内定义的反三角函数关系表，这对今后的做题很有帮助。

3.反函数重要考点

在考研中，我们需要注意反函数的两个公式和一条性质。

两个公式就是反函数的一阶导数和二阶导数公式，其导数公式内容和推导过程如下所示。

反函数的另外一条性质也很重要但经常被大家忽略。

反函数这条性质说明，对自变量x连续施加运算法则f和反函数运算法则φ,得到的结果是本身。

大家可以仔细品味下这条性质是如何来的。然后看看下面这道题，你会做么？

高等数学——通过换元法求解不定积分

今天是高等数学专题的第九篇文章，我们继续来看不定积分。

在上篇文章当中我们回顾了不定积分的定义以及简单的性质，我们可以简单地认为不定积分就是求导微分的逆操作。我们要做的是根据现有的导函数，逆推出求导之前的原函数。

除了基本定义之外，我们还介绍了一些简单的性质和常用积分的积分表。但是显然根据已有的性质对于许多复杂的函数来说求解积分仍然非常困难，所以本篇文章的重点是继续介绍不定积分的运算性质，从而简化我们一些复杂函数的计算过程。甚至是完成一些原本不能完成的计算。今天介绍的是最常用的换元积分法。

换元法是数学当中经常用到的方法，无论是求导计算还是一些复杂函数的运算，我们经常会使用换元法来降低问题的难度。同样，在不定积分的求解当中，我们一样可以使用换元法来进行。通常换元法分成两类，为什么会有两类？这两类有什么不同？这些问题可以先放一放，等看完文章就清楚了。

第一类换元法比较容易理解，其实是链式求导法则的逆运算。

比如，我们有函数F\'(u) = f(u) ，显然函数F(u)是f(u)的原函数，所以：

如果u是中间变量，并且 u = φ(x)，我们对 F(u) 求导，根据复合函数的链式求导法则，可以得到：

我们把上面这个式子用积分反过来，就可以得到不定积分的换元公式：

我们通过简单的推导获得了公式，那么这个公式怎么用呢？初看起来总有些难以下手的感觉，这是正常的，我们需要继续来化简。

假设我们要求 ∫g(x)dx ，直接求解比较麻烦，如果我们可以把g(x)想办法转化为 f[φ(x)]φ\'(x) 的形式，那么我们就可以套用公式得到：

这个时候函数g(x)的积分就转化成了函数f(u)的积分，如果能求到f(u)的原函数，那么我们也就得到了g(x)的原函数。一般来说经过了换元化简之后得到的函数f(u)都会比原函数g(x)简单得多，这也是换元法的意义。

光说不练假把式，我们来看一个例子：

由于分母上的x有一个系数，导致我们不能直接使用积分公式。这个时候就需要换元，不难想到，我们可以用u = 3 + 2x。由于我们要凑出f(u)du，我们发现u对x的导数为2，所以我们可以将原式变形：

通过上面这个例子，我们可以发现，其实换元法的精髓很简单，我们在换元之后，需要凑一下f(u)du。当我们凑到了之后，就可以把u当成变量套积分公式了。

我们再来看一个复杂一些的例子：

在这个例子当中，我们要计算的函数比较复杂，既包含三角函数，又有平方操作。简单粗暴直接搞肯定是不行的，我们需要先把 cos^2 x看成是 cosx * cosx，这样我们就可以套用积化和差公式，得到：

1/2(1 + cos2x) 到这里就简单很多了：

我们令u = 2x，上式可以变形为：

熟悉了第一类换元法之后，我们来看第二类换元法。

在第一类换元法当中我们用一个新的变量来代替了一个相对比较复杂的函数，比如我们用u代替了2x或者是2x+3等函数，简化了后续的运算。而第二类换元法的思路刚好相反，我们将原本单一的变量转化成一个复杂的表达式。比如我们用三角函数或者是极坐标来表示原本的x，这种做法在高中的数学题当中经常常见，尤其是解析几何的问题。我们经常建立极坐标，用极坐标公式来换元简化计算。

也就是说第二种换元法刚好和第一类换元法的逻辑相反，我们是将x转化成 φ(t)。所以换元公式为：

但是这么做是有前提的，f(x)既然可积说明积分一定存在，但是右边换元之后的式子却并不一定。所以我们需要保证 ∫f[φ(t)]φ\'(t) 的原函数存在。其次，在我们换元计算结束之后，我们需要用 x = φ(t) 的函数的反函数 t = φ^(-1) 代入回去。但是要保证反函数存在并且可导的，我们可以简单认为原函数 x = φ(t) 在某个区间上是单调可导的，并且 φ\'(t) != 0。

我们根据上面的定义写出换元公式：

我们同样可以使用链式求导法则来证明，我们假设 f[φ(t)]φ\'(t) 的原函数是 Φ(t)，所以

我们对F(x) 求导，可以得到：

于是得证。

我们同样来看一个例子：

这个例子当中又有平方根，又有平方项，看起来非常麻烦，这个时候我们就需要进行换元。因为

sin^2t + cos^2t = 1 ，所以我们可以令 x = asint，-π/2 < t < π/2。我们代入原式，可以得到：

∫cos^2 tdt 其实就是我们上面讲的第二个例子，我们之前计算得到过答案：

我们代入原式，可以得到：

由于 x = asint，-π/2 < t < π/2 所以

我们将这些带入上式可以得到最终结果：

到这里，两个换元方法就介绍完了，虽然看起来简单，但是我们结合之前介绍的常用积分公式，还可以衍生出许多种不同的用法。但是想要把这些用法全部吃透需要我们对积分公式以及换元应用都非常熟悉才行，这些并不是一两篇文章就能做到的，必须要做大量的练习，我想考研的同学应该有非常深刻的体会。

今天的文章就是这些，如果觉得有所收获，请顺手点个关注或者转发吧，你们的举手之劳对我来说很重要。

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