正切函数单调性【正切函数单调性证明】 收藏 0

函数的性质：单调性、奇偶性与周期性

1. 函数是高中数学中最重要的一个内容，也是高考的一个核心考点，在150分的总分中占30分及以上。其中有一个导数大题，做压轴题，12分；有4个左右的小题，有中档题、有压轴题。
2. 函数是很多高中生感觉不太好学的一个内容。第一是抽象；第二是内容多且散；第三是题型活而难，觉得难以把握。
3. 函数的性质主要有三个，单调性、奇偶性和周期性。
4. 函数的奇偶性：因为奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。所有具有奇偶性的函数只要研究其在对称区间的一半的函数图象和性质，另一半可由对称性知道，因此可以省力一半。常用的判定方法有：定义法和图象法；常见的方法有：转换法和对称法。
5. 函数单调性：单调性是研究函数在某个区间上是增函数还是减函数的性质。函数单调性的判定方法有三种：1）定义法；2）图象法；3）求导法。函数单调性的应用有：1）比较值的大小；2）解不等式，剥离f（x）中的f，或者加上f；3）与奇偶性结合出题；4）与函数最值或者值域结合出题。
6. 函数的周期性：具有周期性的函数只要研究函数在一个周期内的图象和性质即可。这个给我们带来极大的便利，如正弦函数、余弦函数和正切函数。正如学校的课表只需按周排，我们的星期以七天为一个周期；作息时间按日排，地球的旋转以24小时为一个周期，人们也以此为周期安排作息。
7. 函数的性质往往结合图象一起考查，所以一定要重视形数结合法。函数能够画图的尽量画出图形，哪怕是抽象函数也尽量画出示意图。另一方面函数往往综合各种性质出题，所以一定要注意用纵横联系的观点和方法去解题。即要主动考虑函数的奇偶性、单调性和周期性，还要纵向考虑：是否为中学的九个基本函数的复合函数。

数学学习 | 高中数学知识：正切函数图像和性质（建议收藏！）

全文共982字，预计阅读时间：3分钟

我们已经在三角函数的数学意义、三角函数的概念等基本知识的基础上学习了同角三角函数之间的基本关系以及使用三角函数时常用的诱导公式，同学们记得多翻看推文进行复习哦！

研究函数必须要研究其图像和性质，三角函数也不例外，上周我们学习正弦函数和余弦函数，今天，我们就来学习一下正切函数吧！

在正弦函数和余弦函数的学习中，我们先绘制了他们的图像，再根据其图像以及之前我们学习的诱导公式找到了他们的性质。

在上周的学习中，我们可以发现，其实只根据诱导公式也是可以找到正弦函数和余弦函数的性质的，因此，今天我们就换一个思路去学习正切函数吧！

今天，我们先来通过诱导公式找到正切函数的性质，再根据其性质绘制出正切函数的曲线！

首先，根据诱导公式二tan(a+π)=tan a，其中a∈R，且a≠（π/2)+kπ，k∈Z，我们可以得到正切函数为周期函数，其周期为π；

其次，根据诱导公式三tan(-a)=-tan a，其中a∈R，且a≠（π/2)+kπ，k∈Z，我们可以得到正切函数为奇函数；

最后，关于正切函数的单调性和值域，我们先给出结论，然后在后面绘制正切函数图像时再给予验证：

正切函数在每一个区间（（-π/2)+kπ，（π/2)+kπ）（k∈Z）上都是单调递增的；

正切函数的值域是实数集R。

在单位圆中，我们可以画出x∈【0，π/2）的图像，其绘制方法为过点（1，0）做x轴的垂线L，在单位圆中以x轴正方向为起始边，找到角度x的终边，延长至与L相交，所交点的纵坐标就是角度x的正切函数的值，因此，我们可以得到：

由于正切函数为奇函数，我们可以将上面x∈【0，π/2）的正切函数图像绕原点对称找到x∈（-π/2，0】的正切函数图像；

再根据正切函数是周期函数，我们将x∈（-π/2，π/2）的正切函数图像向左、向右平移π个单位，就可以得到一个完整的正切函数图像了，我们称其为正切曲线：

通过上图，我们可以发现正切函数在每一个区间（（-π/2)+kπ，（π/2)+kπ）（k∈Z）上确实都是单调递增的，并且其值域是实数集R。

今天，我们学习了正切函数的性质和图像，希望可以帮助同学们更好的进行高中数学学习哦！

同学们有任何不懂的内容可以留言提问，如果有需要的话我们会有习题类推文哦！

下一期我们将继续讨论数学学习的相关问题呀！如果你想知道更多，请关注我们哦！

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高一数学知识点：余弦函数与正切函数

本节课的知识点：

1.余弦函数与正切函数的图像性质，单调性、定义域、值域、对称轴、对称中心。2.余弦函数与正切函数的性质考察，求解单调性、对称轴、对称中心用“脱衣服”原理，求解值域用“穿衣服”原理。

例题

类比学习：同正弦函数，脱衣服和穿衣服原理。因为cosx是偶函数，因此cos(x-2)和cos(2-x)函数图像是相同的，可以用geogebra软件模拟下。

求解下题：首先看选项得到最大值和最小值，然后只需要画最值范围的函数图像，然后求解即可。

求解下题：单调就等同于两个对称轴之间，因此T/2≥π/3-0.

求解最值问题：穿衣服的原理。

求解此题：往往画余弦函数的图像为-π-π，但此题为了写的区间连续，可以画0-2π之间的图像。代入求解即可。

求解此题：用分离常数法，注意定义域的取值范围。

求解此题：利用三角函数的两个基本公式；转化为两个函数有交点；换元法求解方程。

二、正切函数图像及性质：

穿衣服原理求解值域问题

换元法：函数的同增异减原则求解最大值和最小值。

收工，Get✓。

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