指数函数的导数是什么(指数函数的导数是多少) 收藏 0

高中数学学习（51）——导数

导数，曾经高考最难的题型。

但是，高考里它难并不是因为它本身就难，而是因为高考考题里往往用它去做其功能的延伸。

导数是一个表示瞬时变化率的量。

用物理举个例子：路程的导数就是速度，速度的导数就是加速度。

也就是说，一个函数一次求导判定的是它的单调性，二次求导判定的是它的变化趋势。

想用导数做题，自然要先学会如何求导。

这其中，常函数求导、幂函数求导、与e有关的指数函数和对数函数求导、正弦函数求导和余弦函数求导是我们考试中常用的，与e无关的普通指数函数和对数函数求导也是会考到的，大家也要记忆好。

这也是考试的重点，也要记忆清楚，特别是除法求导。

若y=f（u），u=g（x），则y’=f’（u）*g’（x）。

复合函数求导，就是对复合函数各层分别求导，然后把导数乘起来。

这里特别注意，外层求导要保持原状态，不要把复合部分用其他字母代替。

导数的常见题型，填空题最常见的就是求切线方程题。

这类题，第一步，先判定所给点是不是在函数上。判定方式自然是把这个点代入函数解析式，看看是否成立。

若所给点在函数上，则对该函数求导，当导函数的x值为所给点横坐标时求出的值即为切线的斜率，如此，所求直线有了斜率与一个点，就可以求出切线方程了。

若所给点不在函数上，则设出切点坐标，然后对该函数求导，当导函数的x值为所设切点横坐标时求出的值即为切线的斜率，所给点与所设点用两点之间斜率公式求出的斜率也是切线的斜率，这两个斜率是相等的，由此求出切点横坐标，进而求出切线方程。

导数的常见题型，考核最多的就是利用导数判定函数的单调性，特别是大题的第一问。

对函数进行求导，其导函数>0的部分对应的就是原函数的单调递增区间；其导函数<0的部分对应的就是原函数的单调递减区间。

当然，我们考试时不会考的这么简单，往往是含参的函数。

含参函数有时需要对参数的取值范围进行分类讨论去判定函数的单调性。

其讨论的依据一般有几个方面：导函数解的大小关系，函数或导函数图像的方向，函数或导函数是否有意义，函数或导函数解的个数等等，根据具体题型从这几个方面考虑如何对参数进行讨论。

首先，区分最值与极值的区别。

最大值或最小值指的是函数的最大一个值与最小一个值，最大值一定比最小值要大。

极值的概念就是函数单调性发生变化的位置，用通俗的话说，就是函数图像拐弯的位置。

一个函数可能有很多个极大值或极小值，极大值也不一定就大于极小值。

另外，区分极值与极值点的概念。

极值指的是纵坐标，极值点指的是横坐标。

极值点的求法，就是对函数进行求导，让导函数=0解出的x值。

但是要特别注意，并不是导函数=0求出的所有x值都是极值点，奇是偶不是，这与前面我们讲过的高次不等式解法中的奇过偶不过是相对应的。

在偶次解出的x值的位置，单调性并没有发生改变，只是变化趋势发生了改变。

这类问题考到的不算多，主要是由求导后的导函数去构造求导前的函数解析式，这类函数一般是两个函数相乘或者是两个函数相除后进行的求导。

一般导函数中间为“+号的，原函数即为两个函数相乘的形式；

一般导函数中间为“-”号的，原函数即为两个函数相除的形式；

特别注意，如果导函数中存在三角函数，可能与上述法则相反，主要原因出现在余弦函数求导为负的正弦函数上。

一个函数无论多复杂，它的最值只可能出现在两个位置上，即端点处或极值点处。

因此，求一个连续函数的最值时，我们可以先求出它的所有极值点，然后将它所有极值点所对应的极值及其两个端点所对应的y值求出来，其中最大的就是该函数的最大值，最小的就是该函数的最小值。

前面讲函数时，其实我们讲了很多种求最值的办法，导数求最值是其中的一种。

我们都说导数是高中数学最难的，那么我们该以什么态度去对待它呢？

四个字——敬而远之。

也就是，但凡有其他办法可以解决的问题，就不用导数的办法。

所谓零点，就是函数值等于零时，所对应的x值。

若一个函数为同类组合的函数，我们可以通过对其进行求导，确定其极值，然后通过其每个极值与0的大小关系判定其零点个数，进而求出其零点；

若一个函数为两类函数组合，则我们可以将这两类函数分别放置于等号两侧，将零点问题转化为两个函数的交点问题求解。

上述就是导数的全部基础功能。

用这些基础功能，我们可以拿到导数的全部分数或者除导数大题第二问外的全部分数。

至此，高中数学的全部基础内容我们就讲解完了。

无论高考如何改革，无论题型如何变化，高考中基础分值都不会低于110分。

所以，学习高中数学，最关键的就是戒骄戒躁、稳抓基础，在打好基础的前提下灵活运用，大家就一定可以考出一个满意的分数。

大家如果喜欢或者需要这份高中数学学习资料，别忘了点赞关注。

希望每个考生都考出自己理想的分数，考入自己理想的大学。

本系列更新完毕，谢谢大家！

数学发现：指数函数的求导原理所包含的数学奥秘

我们的数学课本给出了常用函数求导的数学过程和结果，但其过程包含的优美的数学规律却很少体现，本篇我们就以指数函数为例来发现数学的美

如下是一个有关2为底的指数函数：2^t，我们在这里研究下它的导数所蕴含的数学规律

根据函数的求导原理，2^t的导数的表达式就是

以及2^t导数所表示的切线斜率就是

我们将2^(t+dt)进行整合，如下图可以分拆为2^t 和2^dt

我们将2^t提取出来，如下图，我们现在要解决的就是等式右边括号内的式子

这是本篇的重点，我们假设dt=0.001，那么其结果等于

我们将上述dt继续缩小100倍，其结果仍是0.693……那么这个值是不是一个常数呢？

为了验证我们的猜测，我们继续将上述dt缩小1000倍，结果仍然是0.693……只是不断地趋于一个常数

所以我们可以肯定2^t的导数就是2^t乘以一个常数，这是所有指数函数都有的特性

高中导数基本初等函数公式全解析：初学者必学，巧记方法助力进阶

高中导数运算中，在理解概念后，基本的初等函数的导数公式可是必须要好好掌握的内容呀！否则高中阶段后续的数学学习寸步难行，记忆这些公式还是有巧妙方法的了。

（如果不理解导数概念可以看下 ）

常见基本初等函数的导数公式可以分为5大类，大概如下：

像常数函数若，它的导数为0。想想看，常数就像一个静止的量，没有变化趋势，比如函数y = 5，不管x咋变，y始终是5，没变化，那导数自然就是0啦。

幂函数的导数公式(xⁿ)\’ = nxⁿ⁻¹也很关键。举例来说吧，函数y = x² ，按导数计算公式，它的导数就是2x 。其实就是把原来的指数拿下来当系数，指数再减1 。那y = x³ 的导数就是3x² 。大家不妨试试算下y = x⁴ 的导数。

指数函数y = aˣ （a > 0且a≠1），导数是y\’ = aˣlna 。特别注意的，当a = e时，y = eˣ ，它的导数就是它本身eˣ ，是不是很神奇 大家可以算算y = 2ˣ 的导数哦。

（e是什么？e是一个重要的数学常数，它是自然对数的底数，约等于2.71828。e有很多奇妙的性质和应用哦。从数学定义上来说，它可以通过极限的形式来表示，即。其实，在很多实际问题中，比如在研究连续复利、放射性衰变、生物种群增长等自然现象和经济问题时，e都起着非常重要的作用。函数的导数还是它本身这个性质，在高中阶段记住，直接运用就可以了啦！）

对数函数（a > 0且a≠1）的导数是。需要特别注意的是当a = e时，f(x) = lnx ，导数就是1/x 。比如求y = ln2x 的导数，要用到复合函数求导法则，先记住lnx导数是1/x这个基础哦。

y = ln2x 的导数推理过程

三角函数的导数也不能忽视。正弦函数y = sinx ，导数是y\’ = cosx ；余弦函数y = cosx ，导数是y\’ = -sinx 。其实，联想下它们的图像，能帮助我们记忆呢。

首先呢，咱们画出正弦函数y = sin x和余弦函数y = cos x的图像。正弦函数的图像就像波浪一样，在(x = 0)的时候，它是处于上升趋势的，对吧？这时候它的切线斜率是正的，而此时余弦函数

y=cos x在x = 0处的值cos0 = 1是正的。

正弦函数y=sin x 余弦函数y = cos x

随着(x)的增大，当正弦函数(y=sin x)到达波峰，也就是的时候，它在这一点的切线斜率为0)，而此时余弦函数y = cos x在处的值为0。

再继续看，正弦函数过了波峰开始下降，在(x=π)的时候，它的切线斜率是负的，而此时余弦函数y=cos x在此处的值也是负的。

从正弦函数(y=sin x)整个图像上看，它在各个点处切线斜率的变化趋势和余弦函数y=cos x的值的变化是对应的，所以我们就可以联想记忆正弦函数的导数是余弦函数，即(sin x)\’=cos x。

那对于余弦函数y=cos x呢，同样看它的图像。它在x = 0的时候，是处于水平状态然后开始下降的，切线斜率是0然后变为负的，而此时正弦函数y=sin x在x = 0处的值 0，随着x增大，它的切线斜率的变化趋势和正弦函数y = sin x的值的变化是对应的，只不过是相反的关系，所以余弦函数的导数是负的正弦函数，即(cos x)\’=-sin x。

要快速记住以上这些基本初等函数的导数公式，一方面要理解推导过程，另一方面得多做练习题，通过运用加深记忆。实在理解不了，那就记住直接拿来运用也是一个策略[呲牙]。

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