指数函数的导数公式推导过程、指数函数导数公式推导过程百度百科 收藏 0

借力打力求导数，如果一个函数不好求导，不妨先求它反函数的导数

本篇是上一篇文章

的延续阅读。

在对幂函数y=x^μ求导时，我们用到了以自然常数e为底数的对数函数y=ln x的求导结果（ln x）\’=1/x。那么，它的求导过程是怎么样的呢？我们一起来了解一下。

对数函数y=log(a)x直接求导是很难实现的，因为[log(a)（x+h)-log(a)x]没法继续合并或分解。但前文中，我们已经求得了指数函数y=a^x的导数，(a^x)\’=a^x*ln a。既然两者互为正反函数，我们据此，来推导一下它们的导数之间的关系。

值得注意的一点是，对数函数y=log(a)x和指数函数y=a^x互为正反函数，是从它们的函数法则上讲的。对于反函数y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函数（或直接函数）表达式应为：x=a^y或g(y)=a^y。

设存在一个直接函数（或正函数）x=g(y)（导数已知），它的反函数为y=f(x)。

直接函数（或正函数）x=g(y)的导数g\'(y)=△x/△y，而反函数y=f(x)的导数f\'(x)=△y/△x。所以有f\'(x)=1/g\'(y)。也就是说，正反函数的导数互为倒数。

导数是需要极限运算的，上式中的g\'(y)和f\'(x)略去了极限字符lim，但这不影响两者的互为倒数关系。

我们先对直接函数g(y)=a^y求导，得：g\'(y)=a^y*ln a。

那么，反函数f(x)=log(a)x的导数f\'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f\'(x)=1/（x*ln a），记作(log(a)x)\’=1/（x*ln a）。取a=e时，（ln x）\’=1/x。

比较常见的正反函数还有三角函数和反三角函数。

我们以正弦函数和正切函数为例，来推导一下它们的反函数的导数。

先给出正弦函数y=sin x的导数f\'(x)=cos x，正切函数y=tg x的导数f\'(x)=sec^2 x。在后面的文章里我们会再作推导，欢迎关注阅读。

1、设正弦函数x=sin y为直接函数，它的反函数为反正弦函数y=arc sin x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=√(1-x^2)。

2、设正切函数x=tg y为直接函数，它的反函数为反正切函数y=arc tg x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把正割sec y转换成正切tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y=1+x^2，所以有，(arc tg x)\’=1+x^2。

看到此处，有的小伙伴可能会产生一些困惑：怎么一会y，一会x的，闹哪样啊？

对于反函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量；而对于直接函数（或正函数）x=g(y)，y是自变量，x是因变量。但在计算过程中，自变量和因变量的身份已经不重要了，重要的是x与y之间的函数法则不变。

比如，上面的等式(arc sin x)\’=1/cos y，我们用y\’来替代f\'(x)，即y\’=f\'(x)=(arc sin x)\’。可以得到一个新的等式：y\’=1/cos y。等式里已经看不到自变量x，但这样的表达式也是成立的，因为它已经是一个微分方程了。

无论原函数还是导函数，我们都可以把它看作是一个方程式。式中，无论x、y、x\’、y\’、dy、 dx，都是可以同时存在的，只要它们遵循正确的函数法则。

而我们要做的，是把它们转换成我们需要的样子。

两个随机问题：概率密度函数的推导与逆变法

[专业笔记]系统建模与仿真-两个随机问题

目录

• 概率论浅谈
• 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导
• 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

正文

*1* 概率论浅谈

翻开概率论的教材，会发现它与其他数学分支如代数、几何、微积分等有很大的不同。它的例题习题来源于现实生活，有鲜明的应用性。而其他数学分支只有少部分内容有应用背景，大部分内容包括例题习题都是抽象的推理，从公式来到公式去。对于后者，不爱动脑筋的同学套公式也能解题，但是对于题目是什么意思能够解决什么实际问题并不清楚。概率论的习题不一样，首先要理解问题，能用数学语言表达出题目的含义，才能解题。

另外，要理解概率的含义是随机的（未知的）变量的取值的可能性。是一个统计特征。按照大数定律，重复试验次数越多，事件发生的次数越接近概率。切不可用一次试验的结果，去反驳说概率不对。可以把概率看作试验开始之前对试验结果的预判。一旦得到结果，就是确定值不再是随机变量，与概率含义完全不搭界。比如，抛硬币正面向上的概率是50%，抛得次数越多，正面向上比例越接近50%。但是抛一次的结果就是正或反。不能因此说概率是100%或0%。概率论是既有趣也容易让人迷糊的学科甚至有些数学教授写的书都错了。广泛流传的三门问题及其答案也是错的。

*2* 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导

考虑一个商店，顾客的到达时间是随机的。采用概率分布来描述，常用的是泊松分布。若采用平稳泊送过程描述，则有：在(t,t+s)内到达的顾客数k的概率为 其中N(t)表示在(0,t)区间内到达顾客的人数，t≥0,s≥0,k=0,1,2,…,λ为到达率。求证：顾客到达的时间间隔服从指数分布，即密度函数为 。其中s是间隔时间。

证：

(*)含义：时间间隔S内无人到达的概率

(1)含义：时间间隔S内有任意多人(≥1)到达的概率（分布函数）

定义f(t)表示两人到达时间间隔为t的概率密度，即时间间隔为t时有人到达的概率密度。

(2)含义：时间间隔S内任意时刻有人到达的概率总和（分布函数）

可见(1)(2)是同一事件的概率，只是分析角度不同：(1)是从到达人数来说，(2)是从到达时刻来说。

因此 , 即

求导得

得证。

*3* 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

在进行离散事件系统仿真研究时，我们需要生成指定分布的随机数。有一种实用的方法-逆变法：

假设指定分布函数为F(x), 则先生成[0,1]均匀分布的随机数集U, 那么 即为分布函数为F(x)的随机数集。其中表示F(•)的反函数。下面我们来证明。

证：

假设U为[0,1]均匀分布的随机数。令。

∵F(x)是分布函数，∴它是单调递增的。因此

得证。

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