指数函数求导例题【指数函数求导例题及解析】 收藏 0

数学发现：指数函数的求导原理所包含的数学奥秘

我们的数学课本给出了常用函数求导的数学过程和结果，但其过程包含的优美的数学规律却很少体现，本篇我们就以指数函数为例来发现数学的美

如下是一个有关2为底的指数函数：2^t，我们在这里研究下它的导数所蕴含的数学规律

根据函数的求导原理，2^t的导数的表达式就是

以及2^t导数所表示的切线斜率就是

我们将2^(t+dt)进行整合，如下图可以分拆为2^t 和2^dt

我们将2^t提取出来，如下图，我们现在要解决的就是等式右边括号内的式子

这是本篇的重点，我们假设dt=0.001，那么其结果等于

我们将上述dt继续缩小100倍，其结果仍是0.693……那么这个值是不是一个常数呢？

为了验证我们的猜测，我们继续将上述dt缩小1000倍，结果仍然是0.693……只是不断地趋于一个常数

所以我们可以肯定2^t的导数就是2^t乘以一个常数，这是所有指数函数都有的特性

2021高考数学尖子生必刷训练：导数切线压轴（含答案）

切线属于高考必考内容，大部分情况属于中等偏下难度，但以切线为背景的导数题偶尔也会作为压轴题。平常训练需要提前预备，方能在考场上临危不乱；

以下选题难度较大，适合高考拔高用，包含详细解析；

切线公切求参数取值范围解决方式比较单一，处理方法掌握好就能一通百通，技巧性不强。

切线公切求参数具体值在2016年III卷出现，作为填空题，难度不大。主要抓住，切线斜率的两种表达方式：即导函数在此处导数值，两点表示斜率。表达后，利用运算技巧便能消元求解。所以这种题型的难度不在于导数，而在于对数指数运算技巧的熟练程度。运算化简技巧也是高考中大家容易忽略的大头！这一点，需要特别注意。

解答题部分，一问出切线概率有三成。属于简单求参或者直接切线方程，求切线方程主要目的是为了二问放缩或恒成立探路，注意导数一问二问的链接点，没有孤立的第二问，高考需要特别注意。

高考数学学法指导：利用导数求函数的切线的两种题型，请收藏

高二数学学法指导：利用导数求函数的切线，两种题型通性通法技巧。

现在，高二年级正在学导数，有的朋友问如何利用导数去求函数的切线？如果这个函数是二次函数，我们在求切线的时候，可以借助判别式去处理，当判别式等于零的时候，那就说明直线与二次函数只有一个交点，那就是相切的；如果说这个函数不是二次的，那这个时候遇到了三次的、四次的、指数、对数类型，这个时候我们应该怎样去求切线呢？那就可以借助导数法去求了。

用导数去求切线有两种题型，第一种在某点处求切线，只要有这几个字，就说明这个点一定是切点。解题思路呢，第一步我们先求导，第二步，用点斜式列出切线的方程。实际上在一和二之间还有一步，那就是求切线斜率，你需要带入谁呢？就需要带入切点所对应的横坐标，然后我们再用点斜式写出我们的切线的方程。在这里面可不是f（x）的导数，需要把X0代入，这样才行。如果过某一点，这个点在曲线上的时候，他可能是切点，也可能不是切点，如果不在曲线上，一定不是切点，这就告诉我们，只要过某点，这个时候我们都不能按照切点去算了，因为这个点不一定是切点。按照第一个类型，你要是用导数方法去求切线，你必须要有切点，所以第一步是设切点的过程。第二步我们去求斜率，求斜率有几个方法，这里面你可以记住什么呢？就可以借助你设的切点和已知点去写斜率，这是常规的思路。也就是说我们把这种情况在搬下来，因为这个时候切点就已经有了，所以我们可以先求切线斜率等于F导数X0，然后再借助什么呢？再借助直线的点斜式，然后带入已知点，求出切点横坐标，切点就出来了，一切结束，这是我们的常规思路。那就是说有切点，我们直接求导、点斜式就可以了，如果告诉你这个点不一定是切点，我们就要设切点，不管怎么样，我们都需要切点才行。

按照这个方法，我们做一下这个题目，他说过原点与y=lnx这个曲线相切的切线方程是什么？过这一点，那这一点就不一定是切点，当然他肯定不是切点，因为你在进来没有意义了，对吧，那怎么办呢？我们想一下这个图，我们就设切点吧，按照步骤就可以求出切线。

当然啦，有的朋友啊，用正比例函数，然后再去研究切线，没有任何问题，我这里面只是告诉大家一般的思路，那就是，第一步，已知切点或者是设切点是必须有的过程，第二步，求导，第三步，求切线的斜率，第四步，点斜式写方程，就可以求出我们的切点的横纵坐标，进而求出切线的方程。这个题目呢，我们就讲到这里。这题不重要，方法重要，如果你需要去系统学习导数的话呢，请查看我们的导数专栏。

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