反函数是什么意思举个例子(反函数是什么意思？) 收藏 0

高中乃至大学都会学的内容之《复合函数》

之前我们认识了函数的概念以及反函数的概念，知道了函数的性质有周期性，单调性，奇偶性。

那么，这节课我们继续来看一下复合函数都有哪些知识点需要掌握呢？首先申明一下，这里的复合函数与值域和定义域的联系非常密切，大家在学习的时候一定要注意↓

在生活中，也是经常有关复合函数计算产量，利率等等实际问题，例如下面所示:

对于复合函数，在经济活动中，会遇到这样的问题：一般来说，成本G是产量p的函数，而产量p又是时间t的函数，时间t通过产量p间接地影响到成本G，那么成本G仍可以看成是时间t的函数，G与t的这种函数关系称为一种复合的函数关系。

接下来，我们再来看一下复合函数的定义：设函数y＝f(u)的定义域为Df，函数u＝Ψ (x)的值域为RΨ ，若RΨ 与Df的交集不等于空集，则y＝f(u)与u＝Ψ (x)可以复合成函数y＝f[Ψ (x)]，称y为x的复合函数，其中，x是自变量，u是中间变量。

定义看起来比较抽象，复合函数简单来说就是，由两个及以上的函数放在一起，构成一个新函数，但是这个新函数只能是一个，想必这样说，大家应该明白了吧！但是要注意的是，要学会区分在什么情况下，复合函数才成立，在什么情况下复合函数是不成立的。

即：当外函数的定义域和内函数的值域相交时有公共部分，这时复合函数成立，反之则不是复合函数。给大家举个例子↓

例如：y＝√u与u＝sinx－2就不能构成复合函数，因为u＝sinx－2的值域为u∈[－3，－1]与y＝√u的定义域u≥0的交集为∅

像上述这样的也是复合函数，这是由y＝|u|与u＝log₃x复合而成的函数。

其中y＝|u|的定义域为u∈(－∞，＋∞)，u＝log₃x的值域为u∈R，所以相交有相同部分，可以复合而成。

今天的内容就讲到这里，还有不懂的可以私信留言讨论，下节课再见。

考研数学中高等数学中的【连续】相关的知识点

在考研数学的高等数学部分，连续是一个核心概念，它涉及函数在某一点的连续性，以及连续函数的相关性质。以下是关于连续性的主要知识点，并附有相应的例子：

连续的定义

1. 函数在某点的连续性：函数f(x)在点x0处连续，如果满足以下三个条件：f(x)在x0处有定义；lim(x→x0)f(x)存在；lim(x→x0)f(x) = f(x0)。
2. 闭区间上连续函数的性质：如果函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在这个区间上是有界的，并且能取得最大值和最小值。

间断点的分类

1. 第一类间断点：可去间断点：左右极限都存在且相等，但不等于函数在该点的值。跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。
2. 第二类间断点：无穷间断点：至少一侧的极限为无穷大。震荡间断点：左右极限振荡不存在。

连续函数的性质

1. 连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）在定义域内仍然是连续的。
2. 基本初等函数的连续性：基本初等函数（如多项式、三角函数等）在其定义域内是连续的。
3. 复合函数的连续性：如果内层函数和外层函数都是连续的，那么复合函数也是连续的。

例子

1. 判断函数连续性：考虑函数f(x) = x^2，在任意点x0处，f(x)都有定义，且lim(x→x0)f(x) = x0^2 = f(x0)。因此，f(x) = x^2在其定义域内是连续的。
2. 求间断点：考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处没有定义，因此x=0是f(x)的间断点。由于lim(x→0+)f(x) = +∞和lim(x→0-)f(x) = -∞，这个间断点是无穷间断点。
3. 利用连续性质求解问题：设f(x)在[0, 1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。根据闭区间上连续函数的性质，我们知道f(x)在[0, 1]上必有最大值和最小值。结合f(0)和f(1)的值，可以进一步分析f(x)的性质，如是否存在零点等。

总结

连续是高等数学中的一个基础且重要的概念，它不仅涉及函数在一点的局部性质，还与闭区间上函数的整体性质密切相关。在考研数学中，理解和掌握连续的定义、性质及间断点的分类是解题的关键之一。通过大量的练习和深入的思考，考生可以逐渐熟悉并掌握这部分内容。

连续性是函数在某一点或区间上的局部性质，反映了函数值随自变量变化的稳定性。以下是连续性的主要知识点及其例子：

1. 连续的定义：

设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果当x趋近于a时，f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点a连续。

例子：考虑函数f(x) = x^2。在点a = 1处，我们有lim(x→1)(x^2) = 1^2 = 1，且f(1) = 1^2 = 1，所以f(x)在x = 1处连续。

2. 间断点的分类：

如果函数在某点不连续，那么该点称为间断点。间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和震荡间断点。

例子：考虑分段函数f(x) = { x, 当 x ≠ 0; 1, 当 x = 0 }。在x = 0处，虽然lim(x→0)x = 0，但f(0) = 1，所以f(x)在x = 0处有一个可去间断点。

3. 连续函数的性质：

连续函数在其定义域内具有许多有用的性质，包括：

– 有界性：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则它在该区间上有界。

– 最大最小值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则存在该区间上的最大值和最小值。

– 介值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)与f(b)有不同符号，则存在某个c∈(a, b)使得f(c)=0。

例子：考虑函数f(x) = x^3 – 3x在区间[-2, 2]上。由于f(x)在此区间上连续，根据最大最小值定理，f(x)在[-2, 2]上必定有最大值和最小值。

4. 复合函数的连续性：

如果有两个函数g(x)和h(u)，其中h(u)在点u=g(a)连续，g(x)在点x=a连续，那么复合函数h(g(x))在点x=a连续。

例子：考虑函数h(u) = u^2和g(x) = x^2 – 1。在点x=1处，h(g(1)) = h(0) = 0，而h(u)在u=0处连续，g(x)在x=1处连续，所以h(g(x))在x=1处连续。

5. 反函数的连续性：

如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调，那么它在该区间上存在反函数，且反函数也是连续的。

例子：函数f(x) = x^3在整个实数域上连续且单调递增，因此它在任何闭区间上都有反函数f^{-1}(x)，且f^{-1}(x)也是连续的。

以上是关于高等数学中连续性的主要知识点及其例子。掌握这些概念对于解决考研数学中的相关问题至关重要。

在考研数学高等数学中，连续性是一个非常基础且重要的概念，主要包括函数连续性、间断点类型、闭区间上连续函数的性质等内容。以下是对连续性相关知识点的详细介绍及举例说明：

1. 函数连续性的定义

函数f(x)在某点x₀处连续，是指以下三个条件同时满足：

• 函数f(x)在点x₀处有定义，即f(x₀)是确定的实数。
• 函数f(x)在点x₀处的极限存在，即lim(x->x₀) f(x) 存在。
• 函数值等于极限值，即lim(x->x₀) f(x) = f(x₀)。

例如，函数f(x) = x²在任意实数x₀处连续，因为对于任意x₀，都有f(x₀) = (x₀)²，且当x接近x₀时，f(x)的极限也是x₀²。

2. 间断点的类型

• 跳跃间断点：如果函数在某点x₀处的左右极限都存在，但左右极限不相等，那么f(x)在x₀处为跳跃间断点。 例如，函数f(x) = {1, x ≠ 0; 0, x = 0}在x=0处是跳跃间断点，因为lim(x->0-) f(x) = -1，lim(x->0+) f(x) = 1，两者不相等。
• 可去间断点：如果函数在某点x₀处的极限存在，但函数值不等于该点的极限值，这时可以通过重新定义函数在该点的值，使函数在该点连续，这样的点称为可去间断点。 例如，函数g(x) = (x²-1)/(x-1)在x=1处的极限为2，但由于分母为0导致g(1)未定义，故g(x)在x=1处为可去间断点。
• 无穷间断点：如果函数在某点x₀处的极限不存在或者为无穷大，那么f(x)在x₀处为无穷间断点。 例如，函数h(x) = 1/x在x=0处为无穷间断点，因为lim(x->0) h(x) = ∞。

3. 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理：在一个闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，一定能在该区间上取得最大值M和最小值m。 例如，函数f(x) = x³ – 3x² + 2在[-1, 2]上连续，根据最值定理，可以在该区间找到最大值和最小值。
• 零点存在定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)·f(b) < 0，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f(c) = 0。 例如，函数f(x) = x² – 2在区间[-2, 2]上连续，并且f(-2)·f(2) < 0，所以该函数在(-2, 2)内至少有一个零点。
• 介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且y介于f(a)和f(b)之间，那么存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得f(c) = y。 例如，对于连续函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, π]上，因为f(0) = 0, f(π) = 0，那么对于y=1/2，存在c ∈ (0, π)，使得f(c) = sin(c) = 1/2。

通过深入理解和掌握函数连续性的相关知识点，考研学子能够更好地解决高等数学中的极限、微分、积分等问题，为后续的数学学习打下坚实基础。

从《登鹳雀楼》说起反函数和逆向思维

本文作者刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来的关注和支持！

“欲穷千里目，更上一层楼”是唐诗《登鹳雀楼》中的名句，如果我们从数学的角度来看，就会觉得这简直是在说“反函数”。

为什么呢？

因为平时我们习惯上，都是以自身所处高度为自变量，建立高度和视野半径的函数。但是这首诗里，先给出视野半径，然后求出高度，这可不就是反函数嘛。

一个函数（称为原函数）要有反函数，其中必须的一点是，这个原函数必须是一一对应的，否则就会出问题。比如大家知道(3-4)²=(4-3)²，但是如果你因此就认为3-4=4-3，那可是犯了大错。而前面唐诗中例子里，高度和距离恰好是一一对应关系。如果不然的话，那最末一句就不一定非得是“更上一层楼”而可能是“更下一层楼”了。

一一对应在很多问题里非常重要，比如在测量温度的时候。制作液体温度计时，都是先根据温度定好刻度，使用的时候则是依据刻度得出温度。这也是一种反函数。我们常见的液体温度计都是用水银或者煤油作为测温物质的，为什么不用水呢？当然水的比热比较大，会在测温时带来（或者带走）很多热量，还有水会浸润玻璃，所以玻璃管不能做得太细等等都是原因，但是从数学上讲，水的体积和温度不是一一对应的，一般情况下虽然水也是热胀冷缩的，但是在0-4摄氏度时，水却是“热缩冷胀”的。

反函数是一种典型的“逆向思维”，数学里还有很多其它的逆向思维。从最初等的数学来看，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，开方是乘方的逆运算。注意，有人认为不能说加法是减法的逆运算，也不能说乘法是除法的逆运算，也就是说，此二者不是“互为逆运算”。我不知道这种说法是否有道理，录此备考。（乘方是不是开方的逆运算，我没有找到相关说法）

我们常见的证明方法“分析法”，也是其中一种逆向思维。通常我们证明几何题都是从已知条件出发，由甲证乙，由此及彼，一步步得到结论，此谓“综合法”。但是分析法却是从结论出发，采用“欲证某乙，只需证明某甲”的表达方式。有时一些题目不容易用综合法证明，就可以用分析法证明。

再比如，解析几何里主要有两大任务，一是从某些条件得出曲线满足的方程，二是从方程出发，研究曲线的性质。显然，这两个任务是互逆的。还有就是求导和积分，也是互逆的。

有些命题，形式上彼此为逆命题，但是证明难度却不可同日而语。比如求证等腰三角形两底角的平分线相等，只是初中课后练习的水平，而如果由角平分线相等来证明该三角形是等腰三角形，则难得多了。更有名的例子和哥德巴赫猜想有关：如果要证明两个不等于2的质数相加是偶数，这简直就是小学题目，但是如果要证明任何大于4的偶数都可以写成两个质数的和，那就成了世界级的难题。我曾经想过这样一个问题，已知若干数值x1,x2,x3…xn（这些数可能相等，也可能不等），构造一个以这些数值为根的多项式方程，当不为困难，且很容易证明这样的多项式为n次，但要证明一个n次方程恰好有n个根，难度就大多了。

实际上，成“逆”关系而难度差别很大的远不止这些，比如对大数字分解质因数，就比计算两个大数相乘困难得多。据说这就是一些密码的数学基础。前面提到的求导和积分，也是前者比较容易而后者很难。

还有一些问题，不知怎么的竟然无法提出逆问题。比如物理上的扩散方程或者导热方程等等，我们可以计算一个不均匀系统经过多长时间变成一个均匀系统（这里说的均匀，是指实验精度内的），以及最终的这个均匀系统是个什么状态，但却无法从均匀状态逆推到非均匀的初始状态。这里涉及“熵”，是一个很让科学家感兴趣的问题。

这就是本文要讲的内容，大家还满意吗？

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