初等函数的连续性—初等函数的连续性教案 收藏 0

成考专升本高等数学二考试大纲分析及建议

复习考试内容

一、极限和连续（考试占分值比例22分，题型分布一般为：选择（2个）、填空（2个）、计算（1个））

(1)极限

1.知识范围 数列极限的概念和性质

(1)数列数列极限的定义唯一性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理

(2)函数极限的概念和性质 函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ→∞，χ→+∞， χ→-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 唯一性 四则运算法则。可能会出选择填空，计算。①就是我们讲的求极限的第一种方法：代入法。（第一讲）要点：

，直接把

代入

中，其依椐是初等函数连续性定理与四则运算法则。②

可分解因式，要点：分解约分（第一讲）。③

且含有根式的，要点：有理化约分（第二讲）。④

的多项式比值，要点：看分子分母最高次那一项（第一讲）。

(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。可能会出选择填空，及计算。这部分计算也可以用洛必达法则来求解。这部分重点把握等价无穷小量的定义；替换原理，以及几个常用的等价无穷小。（第二讲）

　　(4)两个重要极限，（必考点，一般为选择填空）

第一重要极限：

（第二讲给大家的推广结论）

第二重要极限：（1）

（2）对于演算题，常用“添倒数辅助项方法”；（第二讲，注意满足公式的两条：1.+2.倒数）

2.要求（会计算极限。所有知识点历年型计算方法（知识串讲第一讲））

(1)了解极限的概念。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系， 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。

(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(2)连续

1.知识范围

(1)函数连续的概念： 函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点（以填空形式考查。连续定义分解：两个存在一个相等。三个分解，三种型。（第二讲）①计算函数值；②分界点处的左右极限；③ 分界点处的连续性（重点））

(2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算 复合函数的连续性

(3)闭区间上连续函数的性质 有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)

(4)初等函数的连续性

2.要求（会计算函数值，极限值，连续充要条件。所有知识点历年型计算方法（知识串讲第一讲））

(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念， 理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。

(2)会求函数的间断点。

(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。

(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。

二、一元函数微分学（一般每年两道计算，选择填空有8个左右，大约46分）

(一)导数与微分

1.知识范围

(1)导数概念导数的定义（会出选择，导数定义注意上下增量一致性（第三讲））左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义（填空，切线方程，在谁处的切线斜率就是谁处的导数值（第四讲））可导与连续的关系

(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式（选择填空，计算。8个最重要的求导公式，易错点：常数导数为0，四则运算公式，特别注意乘除的。此为考试重点（第三讲））

(3)求导方法 复合函数的求导法（函数分解，三个常考的复合函数求导的，当公式记住（第四讲）此为考试重难点。） 隐函数的求导法（会出计算，在第八讲，采用多元函数微分的方法更好理解） 对数求导法

(4)高阶导数（重点会考二阶导数，高阶只有几个有规律的（第四讲）） 高阶导数的定义 高阶导数的计算

(5)微分 微分的定义 微分与导数的关系（第四讲） 微分法则 一阶微分形式不变性

2.要求（重点导数定义式，8个基本公式，四则运算及复合运算法则，切线斜率求法，高阶导数求法，历年型做法及技巧在只是串讲第二讲）

(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。

(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

(二)导数的应用

1.知识范围

(1) 洛必达(L′Hospital)法则（求

极限，要点：分子分母同时求导，结合第一章的做题方法和技巧（第五讲））

(2) 函数增减性的判定法以及使用单调证明不等式。

(3) 函数极值与极值点最大值与最小值（应用题）

(4) 曲线的凹凸性、拐点

（2、3、4里面，一般2、4合在一起考察。计算必考点，选择可能也会出一个。做题步骤分四步。（第五讲））

(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线

2.要求（洛必达法则使用求极限，单调与凹凸区间，极值与拐点都是必考点，计算题为主,方法与技巧见（串讲第二讲）)

(1)熟练掌握用洛必达法则求“（1）

（2）

”；型未定式的极限的方法。

(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增 减性证明简单的不等式（历年考试出现了3次）。

(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法， 会求解简单的应用问题。

(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。

(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

三、一元函数积分学（考试重点部分，计算3个，选择填空8个左右，大约52分）

(一)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质（选择填空，注意与导数的关系）

(2)基本积分公式（最重要的有八个，选择填空）

(3)换元积分法 第一换元法(凑微分法) 第二换元法（考试重点，计算选择填空都有出现。第一积分换元法讲了4大类，特别第二第三类计算考得比较频繁（第6讲），这是考试重点！！第二积分换元法讲了一类。）

(4)分部积分法（讲了4类，每一类都有考到过。凑的顺序一定要对）最近几年，一般第一换元和分部积分一个里面出一个计算，而且一个定积分，一个不定积分。。

(5)一些简单有理函数的积分

2.要求（集本函数的积分，一般选择，第一二换元法，分部积分法计算，做题方法和技巧（串讲第三讲））

(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。

(二)定积分（定积分实质就是利用不定积分积出原函数代入上下限，上限值减下限值，（第七讲））

1.知识范围

(1)定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件

(2)定积分的性质

(3)定积分的计算 （选择填空，计算（第七讲）），变上限的定积分（选择填空（第七讲））牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法（计算（第七讲））

(4)无穷区间的广义积分（选择填空（第七讲））、收敛、发散、计算方法

(5)定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的体积（必考点，计算，注意面积的历年来的三种考试形式（第七讲））

2.要求（定积分计算：换元法，分部；性质：（3个考点，选择填空），几何意义（计算），变上限积分函数导数（选择），详细历年型及做题方法和技巧在串讲第三讲）。

(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。

(2) 掌握定积分的基本性质

(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式

(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 旋转体的体积。

四、多元函数微分学（每年两个选择，一个填空，一个计算，,22分）

1.知识范围

(1)多元函数 多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义

(2)二元函数的极限与连续的概念

(3)偏导数与全微分 一阶偏导数 （选择（第8讲））二阶偏导数（选择（第8讲）） 全微分（填空（第8讲））

(4)复合函数的偏导数 隐函数的偏导数

(5)二元函数的无条件极值和条件极值

（计算题一般从（4）（5）三种形式当中选择一个考察。（第8讲））

2.要求（2个一阶导数，3个二阶导数，全微分公式，隐函数，无条件极值，条件极值，是历年考试的题型，具体型和做题方法技巧在串讲第三讲）

(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。

(2)了解二元函数的极限与连续的概念。

(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。

(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。

(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。

五、概率论初步（一个选择一个计算，10分）

1.知识范围（第8讲）

(1)事件及其概率 随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性

(2)随机变量及其概率分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布

(3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 方差 标准差

2.要求（考试主要考察简单定义性质，离散型的会出计算，具体考点串讲第四讲）

(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。

(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。

(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。

(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。

(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。

(8) 会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。

考试形式及试卷结构

试卷总分： 试卷总分：150 分 考试时间： 考试时间：150 分钟 考试方法： 考试方法：闭卷，笔试

学习建议：从历年考试试题和考试大纲来看，考点知识点的侧重没有大的变化，历年考试的题型是我们最重要的参考资料和风向标。知识点的讲解一共分为了8讲，每个知识点的试题形式，做题方法给大家做了介绍。针对知识点的学习，需要考生做练习题以巩固强化！数学考试中。必须需要有题目练习予以强化。知识串讲里主要介绍了重要的可能出现的考点的做题方法和技巧。系统学习结束后，需要大家做几套模拟题。数学学习，必须做题。

专转本高数导数与微积分导数极其线性代数考点及定理汇总

一、考试形式和考试时间

（一）考试形式闭卷、笔试。

（二）试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。

二、试卷结构

（一）试卷内容结构微积分约占 80%（120分），线性代数约占 20%（30分）。

（二）试卷题型结构,如有不懂可以下方留言转本帮小花，看到会第一时间给你回复。

（三）试卷难度结构较易题约占 30%，中等难度题约占 50%，较难题约占 20%

三、考试性质

高等数学是江苏省普通高校“专转本”选拔考试理、工、农、经、管等专业的必考科目，其考试目的是科学、公平、有效地测试考生在高职（专科）阶段对大学数学的基本概念、重要理论与思想方法的掌握水平，考查考生对大学数学课程的掌握程度。考试的评价标准是理、工、农、经、管等专业高职（专科）优秀毕业生应该达到的水平，以利于各普通本科院校择优选拔，确保招生质量。

四、命题原则

按高职高专院校数学课程的要求命题；同时，兼顾到本科院校对学生数学素养的基本要求。主要考查考生对数学的基本概念、基本方法、基本思想和基本理论的理解、掌握与运用；重点考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合分析能力和运用数学理论解决实际问题的能力。遵循科学性与公平性原则，不考对某些科类或某些专业明显有利或明显不利的内容。

五、考查内容及要求

第一部分 微积分

（一）函数、极限与连续

【考查内容】

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性 分段函数、复合函数、反函数和隐函数 基本初等函数和初等函数 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质无穷小量的比较极限的四则运算 两个重要极限 函数连续的定义 函数的间断点及其分类 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

【考查要求】

• 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；理解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

• 2．理解分段函数、复合函数、反函数及隐函数的概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

• 3．理解极限的概念；了解数列极限与函数极限的性质；理解左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

• 4．掌握极限的四则运算法则与复合函数的极限运算法则。

• 5．熟练掌握利用两个重要极限求极限的方法。

• 6．理解无穷小量与无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质；了解函数极限与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，会熟练运用等价无穷小量求极限。

• 7．理解函数连续性的概念，会利用函数的连续性求极限，并能够判定函数在给定点的连续性。会判别函数间断点的类型。

• 8．了解连续函数的运算性质和初等函数的连续性；理解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理），并会运用这些性质。

（二）一元函数微分学

【考查内容】

导数和微分的概念 导数和微分的几何意义导数与微分的关系 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数公式 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数 微分形式的不变性 高阶导数 微分中值定理 罗必达法则 函数单调性的判定 函数的极值 函数的最大值与最小值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘

【考查要求】

• 1．理解导数和微分的概念，熟练掌握按定义求导数的方法；理解导数的几何意义，了解微分的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；理解导数与微分的关系；理解函数的可导性与连续性之间的关系。

• 2． 熟练掌握基本初等函数的导数公式；熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则。

• 3．掌握微分的四则运算法则，了解一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

• 4．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

• 5．会求分段函数的导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的导数。

• 6．理解并会应用罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。

• 7．熟练掌握用罗必达法则求未定式极限的方法。

• 8．熟练掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法；熟练掌握闭区间上的连续函数的最大值和最小值的求法；掌握在某区间上有唯一极值点的连续函数的最大值和最小值的求法。9．熟练掌握用导数判定函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点的方法。会求函数图形的水平渐近线与铅直渐近线；会用导数描绘简单函数的图形。

（三）一元函数积分学

【考查内容】

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和性质 定积分的几何意义 变上限定积分所确定的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 简单有理函数与简单无理函数的积分 无穷限反常积分 定积分的微元法 定积分的几何应用

【考查要求】

• 1．理解原函数的概念；理解不定积分和定积分的概念；理解定积分的几何意义。

• 2．熟练掌握不定积分的基本公式；掌握不定积分和定积分的性质。

• 3．熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，会用三角代换、根式代换求不定积分与定积分；会求简单有理函数与简单无理函数的积分。

• 4．理解变上限定积分所确定的函数，熟练掌握它的求导方法；熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。

• 5．了解反常积分及其敛散性的概念，会计算无穷限反常积分。

• 6．理解定积分的微元法，熟练掌握用定积分表达和计算平面图形的面积与旋转体的体积的方法。

（四）多元函数微积分学

【考查内容】

多元函数的概念 二元函数的极限与连续的概念 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式 全微分形式的不变性 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值 二重积分的概念与性质 二重积分的计算

【考查要求】

• 1．了解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续的概念；理解多元函数偏导数和全微分的概念；了解全微分形式的不变性。会求二元、三元函数的偏导数与全微分；会求二元函数的二阶偏导数。

• 2．熟练掌握多元复合函数的求导法则，会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数；熟练掌握由一个方程确定的隐函数的求导公式，会求一元、二元隐函数的一阶、二阶偏导数。

• 3．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会求解一些简单的应用问题。

• 4．了解二重积分的概念与性质；熟练掌握利用直角坐标与极坐标计算二重积分的方法，会交换二次积分的积分次序，会利用对称性简化二重积分的计算。

（五）无穷级数

【考查内容】

无穷级数的基本概念 数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与级数收敛的必要条件 几何级数（等比级数）、调和级数与 P-级数及其收敛性 正项级数的比较审敛法与比值审敛法 交错级数与莱布尼茨定理 级数的绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与收敛的关系 幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域

【考查要求】

• 1．理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件；掌握几何级数、调和级数与 P-级数的敛散性。

• 2．熟练掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法；熟练掌握交错级数的莱布尼茨审敛法。

• 3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

• 4．理解幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的概念；熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（六）常微分方程

【考查内容】

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次方程一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质与解的结构 二阶常系数齐次线性微分方程自由项为f(x)=P(x)e （其中 P(x)为 m 次多项式）的二阶常系数非齐次线性微分方程

【考查要求】

• 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。

• 2．熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次方程与一阶线性微分方程的通解与特解的求法。

• 3．会用一阶微分方程求解简单的应用问题。

• 4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构。熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；熟练掌握自由项为 f(x)=P(x)e（其中P(x)为 m 次多项式）的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

第二部分 线性代数

（一）行列式与矩阵

【考查内容】

行列式的概念和性质 行列式按行(列)展开定理 矩阵的概念矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩

【考查要求】

• 1．了解行列式的概念与性质。

• 2．熟练掌握二阶、三阶行列式的计算方法，会计算四阶行列式。

• 3．理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵等特殊矩阵。

• 4．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵的行列式及其运算规律。

• 5．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件。

• 6．理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念，了解初等变换与初等矩阵的关系，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

（二）向量与线性方程组

【考查内容】

n 维向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的等价向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组与向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解。

【考查要求】

• 1．理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念；理解向量组线性相关、线性无关的概念，会判定向量组的线性相关性。

• 2．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及向量组的秩；了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。

• 3．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

• 4．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念，掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

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考研数学中高等数学中的【连续】相关的知识点

在考研数学的高等数学部分，连续是一个核心概念，它涉及函数在某一点的连续性，以及连续函数的相关性质。以下是关于连续性的主要知识点，并附有相应的例子：

连续的定义

1. 函数在某点的连续性：函数f(x)在点x0处连续，如果满足以下三个条件：f(x)在x0处有定义；lim(x→x0)f(x)存在；lim(x→x0)f(x) = f(x0)。
2. 闭区间上连续函数的性质：如果函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在这个区间上是有界的，并且能取得最大值和最小值。

间断点的分类

1. 第一类间断点：可去间断点：左右极限都存在且相等，但不等于函数在该点的值。跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。
2. 第二类间断点：无穷间断点：至少一侧的极限为无穷大。震荡间断点：左右极限振荡不存在。

连续函数的性质

1. 连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）在定义域内仍然是连续的。
2. 基本初等函数的连续性：基本初等函数（如多项式、三角函数等）在其定义域内是连续的。
3. 复合函数的连续性：如果内层函数和外层函数都是连续的，那么复合函数也是连续的。

例子

1. 判断函数连续性：考虑函数f(x) = x^2，在任意点x0处，f(x)都有定义，且lim(x→x0)f(x) = x0^2 = f(x0)。因此，f(x) = x^2在其定义域内是连续的。
2. 求间断点：考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处没有定义，因此x=0是f(x)的间断点。由于lim(x→0+)f(x) = +∞和lim(x→0-)f(x) = -∞，这个间断点是无穷间断点。
3. 利用连续性质求解问题：设f(x)在[0, 1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。根据闭区间上连续函数的性质，我们知道f(x)在[0, 1]上必有最大值和最小值。结合f(0)和f(1)的值，可以进一步分析f(x)的性质，如是否存在零点等。

总结

连续是高等数学中的一个基础且重要的概念，它不仅涉及函数在一点的局部性质，还与闭区间上函数的整体性质密切相关。在考研数学中，理解和掌握连续的定义、性质及间断点的分类是解题的关键之一。通过大量的练习和深入的思考，考生可以逐渐熟悉并掌握这部分内容。

连续性是函数在某一点或区间上的局部性质，反映了函数值随自变量变化的稳定性。以下是连续性的主要知识点及其例子：

1. 连续的定义：

设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果当x趋近于a时，f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点a连续。

例子：考虑函数f(x) = x^2。在点a = 1处，我们有lim(x→1)(x^2) = 1^2 = 1，且f(1) = 1^2 = 1，所以f(x)在x = 1处连续。

2. 间断点的分类：

如果函数在某点不连续，那么该点称为间断点。间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和震荡间断点。

例子：考虑分段函数f(x) = { x, 当 x ≠ 0; 1, 当 x = 0 }。在x = 0处，虽然lim(x→0)x = 0，但f(0) = 1，所以f(x)在x = 0处有一个可去间断点。

3. 连续函数的性质：

连续函数在其定义域内具有许多有用的性质，包括：

– 有界性：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则它在该区间上有界。

– 最大最小值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则存在该区间上的最大值和最小值。

– 介值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)与f(b)有不同符号，则存在某个c∈(a, b)使得f(c)=0。

例子：考虑函数f(x) = x^3 – 3x在区间[-2, 2]上。由于f(x)在此区间上连续，根据最大最小值定理，f(x)在[-2, 2]上必定有最大值和最小值。

4. 复合函数的连续性：

如果有两个函数g(x)和h(u)，其中h(u)在点u=g(a)连续，g(x)在点x=a连续，那么复合函数h(g(x))在点x=a连续。

例子：考虑函数h(u) = u^2和g(x) = x^2 – 1。在点x=1处，h(g(1)) = h(0) = 0，而h(u)在u=0处连续，g(x)在x=1处连续，所以h(g(x))在x=1处连续。

5. 反函数的连续性：

如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调，那么它在该区间上存在反函数，且反函数也是连续的。

例子：函数f(x) = x^3在整个实数域上连续且单调递增，因此它在任何闭区间上都有反函数f^{-1}(x)，且f^{-1}(x)也是连续的。

以上是关于高等数学中连续性的主要知识点及其例子。掌握这些概念对于解决考研数学中的相关问题至关重要。

在考研数学高等数学中，连续性是一个非常基础且重要的概念，主要包括函数连续性、间断点类型、闭区间上连续函数的性质等内容。以下是对连续性相关知识点的详细介绍及举例说明：

1. 函数连续性的定义

函数f(x)在某点x₀处连续，是指以下三个条件同时满足：

• 函数f(x)在点x₀处有定义，即f(x₀)是确定的实数。
• 函数f(x)在点x₀处的极限存在，即lim(x->x₀) f(x) 存在。
• 函数值等于极限值，即lim(x->x₀) f(x) = f(x₀)。

例如，函数f(x) = x²在任意实数x₀处连续，因为对于任意x₀，都有f(x₀) = (x₀)²，且当x接近x₀时，f(x)的极限也是x₀²。

2. 间断点的类型

• 跳跃间断点：如果函数在某点x₀处的左右极限都存在，但左右极限不相等，那么f(x)在x₀处为跳跃间断点。 例如，函数f(x) = {1, x ≠ 0; 0, x = 0}在x=0处是跳跃间断点，因为lim(x->0-) f(x) = -1，lim(x->0+) f(x) = 1，两者不相等。
• 可去间断点：如果函数在某点x₀处的极限存在，但函数值不等于该点的极限值，这时可以通过重新定义函数在该点的值，使函数在该点连续，这样的点称为可去间断点。 例如，函数g(x) = (x²-1)/(x-1)在x=1处的极限为2，但由于分母为0导致g(1)未定义，故g(x)在x=1处为可去间断点。
• 无穷间断点：如果函数在某点x₀处的极限不存在或者为无穷大，那么f(x)在x₀处为无穷间断点。 例如，函数h(x) = 1/x在x=0处为无穷间断点，因为lim(x->0) h(x) = ∞。

3. 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理：在一个闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，一定能在该区间上取得最大值M和最小值m。 例如，函数f(x) = x³ – 3x² + 2在[-1, 2]上连续，根据最值定理，可以在该区间找到最大值和最小值。
• 零点存在定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)·f(b) < 0，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f(c) = 0。 例如，函数f(x) = x² – 2在区间[-2, 2]上连续，并且f(-2)·f(2) < 0，所以该函数在(-2, 2)内至少有一个零点。
• 介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且y介于f(a)和f(b)之间，那么存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得f(c) = y。 例如，对于连续函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, π]上，因为f(0) = 0, f(π) = 0，那么对于y=1/2，存在c ∈ (0, π)，使得f(c) = sin(c) = 1/2。

通过深入理解和掌握函数连续性的相关知识点，考研学子能够更好地解决高等数学中的极限、微分、积分等问题，为后续的数学学习打下坚实基础。

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