正弦定理的公式—勾股弦定理 收藏 0

【亮子数学】：常用三角公式大全

【亮子数学】：常用三角公式大全

在学习高等数学和数学分析时，经常会被涉及到的三角函数知识控住手脚。这里，主要罗列了“积化和差公式”、“和差化积公式”、“诱导公式”、“二倍角公式”、“万能公式”、“同角三角函数的基本关系式（包括：倒数关系，商数关系，平方关系）”、“正弦定理”、“余弦定理”、“海伦定理、”反三角函数公式\”等。没有补充全的还可以在公众号中私信我，继续补充。

积化和差公式

积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。

注：证明方法

和差化积公式

注：和差化积公式的推导技巧

诱导公式二倍角公式

注：二倍角的余弦公式常有以下变形（规律：降幂扩角，升幂缩角）

万能公式

单角的三角函数可以用半角的正切函数来表示：

同角三角函数的基本关系式

• 倒数关系：

• 商数关系：

• 平方关系：

正弦定理：余弦定理：海伦定理反三角函数公式

反三角函数是一种基本初等函数，常见的公式有：

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很少人发现的数学定理，你知道三角形的正弦定理比值是多少吗？

大家应该都知道三角形的正弦定理，即边与对角的正弦成比例。如三角形ABC中，有AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB. 那你又知道这个比值是多少吗？其实这个比值就等于三角形外接圆的直径。你知道这是为什么吗？下面老黄就和大家一起来证明这个定理，甚至由这个定理，还可以推导出另外一个定理。

推导出来的这个定理是：两个三角形的外接圆相等时，它们的正弦定理比值相等。老黄直接证明这个定理，这个过程中就会同时证明上面的定理。把它用数学证明题的形式组织如下：

如图：⊙O同时是△ABC和△DEF的外接圆,MN是直径, 证明：AB/sinC=DE/sinF=MN.

证：不妨设∠B为锐角,【因为角B和角A在同一个三角形中，所以必有一个是锐角，如果角B是钝角，就取角A证明，证明的过程和下面没有本质区别】

在⊙O上取点G, 连结MG, GN，使∠M=∠B，【这就是假设角B是锐角的原因，因为三角形MNG是直角三角形，不存在钝角。而其中角G就是直角。角M的构造自由度还是很高的。】

则GN=AC，【等圆周角对等弦】

在△ABC中, AB/sinC=AC/sinB=GN/sinM，【前面是正弦定理的公式，后面是等量替换的结果】

在Rt△MNG中, GN/sinM=MN/sinG=MN，【其中sinG是90度角的正弦，就等于1】

∴AB/sinC=MN，

同理可证：DE/sinF=MN，

∴ AB/sinC=DE/sinF=MN.

老黄一开始觉得只有两个锐角三角形，才能形成这个定理。因为直角三角形中无法构造一个角等于钝角，它们只能互补，虽然互补的两个角正弦相等，但互补的圆周角所对的弦并不相等，因此构不成等量替换。不过后来老黄发现，只要绕开这个钝角，两个钝角三角形，或者一个锐角三角形和一个钝角三角形，同样适用这个定理的。

如果你爱思考，这里面可能会造成一些思维方面的误解，老黄无法言传，只能靠自己去理解了。

三角形正弦定理与余弦定理

1. 正弦定理

（1）正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在三角形ABC中，

上式对任意三角形均成立.

（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角.

2. 余弦定理

（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在三角形ABC中，

余弦定理还有另一种形式：

（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：

①已知三边，求三个角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

3. 在解三角形问题时，须掌握的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.

4. 实际应用问题中的有关名词、术语

（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.

（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角.

（3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角.

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.

5. 须熟悉的三角形中的有关公式

解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：

此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.

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