正割函数的反函数,正割函数的反函数的定义域 收藏 0

三角函数是如此重要，微积分十六个简单导数里它占了十个之多

在数学、物理学和工程力学等诸多领域，矢量是很一个重要的概念。简单的去理解它，就是带方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力学领域，两个不方向的量，其性质可能会有本质的区别。比如下图：

这是一个对曲杆进行内力分析的微分单元。

在这个微分单元的左侧，对于轴力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2构成剪切力的合力；而剪切力Q也一样，其在轴向上的分矢量Q*sin θ/2，和轴力N的分矢量N*cos θ/2构成轴力的合力。

在这个微分单元的右侧，是对左侧进行一个微增量后的结果。比如，轴力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲杆的微弧长dl。对于dN，仍然要进行矢量分割，dN*sin θ/2计入剪切力，dN*cos θ/2计入轴力。最终求积的微分中一定会有这样的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。

从某种意义上说，微积分本身就是应曲线研究而生的。曲线微增量dl是无法取值的，只能转换成dl=rdθ，再换算成X轴和Y轴的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。这使得我们在用微分积解决问题时，非常大的概率会遇到三角函数求导数或求积分。

可以说，三角函数是微积分中最重要的基本函数，在十六个简单导数中它占了十个之多。

既然明确了三角函数的重要性，那我们不妨进一步了解一下这十个简单导数的求导过程。

1、正弦函数y=sin x;

(sin x)\’=lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h

=lim(h→0)[2cos (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)cos (x+h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=cos x

2、余弦函数y=cos x;

(cos x)\’=lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h

=lim(h→0)[-2sin (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)[-sin (x+h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=-sin x

3、正切函数y=tg x;

(tg x)\’=(sin x/cos x)\’

=[(sin x)\’*cos x-sin x*(cos x)\’]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

4、余切函数y=ctg x;

(ctg x)\’=(cos x/sin x)\’

=[(cos x)\’*sin x-cos x*(sin x)\’]/sin^2 x

=-(sin^2 x+cos^2 x)/sin^2 x

=-1/sin^2 x

=-csc^2 x

5、正割函数y=sec x;

(sec x)\’=1/cos x

=[(1)\’*cos x-1*(cos x)\’]/cos^2 x

=sin x/cos^2 x

=sec x*tg x

6、余割函数y=csc x;

(csc x)\’=1/sin x

=[(1)\’*sin x-1*(sin x)\’]/sin^2 x

=-cos x/sin^2 x

=-csc x*ctg x

7、反正弦函数y=arc sin x;

因为y=arc sin x是x=sin y的反函数，所以有，(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=1/√(1-x^2)。

8、反余弦函数y=arc cos x;

因为y=arc cos x是x=cos y的反函数，所以有，(arc cos x)\’=1/(cos y)\’=-1/sin y。接下来，我们把sin y转换成余弦cos y，并进一步转换成x。

因为，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=-1/√(1-x^2)。

9、反正切函数y=arc tg x;

因为y=arc tg x是x=tg y的反函数，所以有，(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把sec y转换成余弦tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y，所以有，(arc tg x)\’=1/√(1+x^2)。

10、反余切函数y=arc ctg x;

因为y=arc ctg x是x=ctg y的反函数，所以有，(arc ctg x)\’=1/(ctg y)\’=-1/cec^2 y。接下来，我们把cec y转换成余弦ctg y，并进一步转换成x。

因为，cec^2 y=1+ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)\’=-1/(1+x^2)。

有这十个三角函数的导数做基础，再也不用担心曲线分析了。

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1.锐角三角函数

锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦(sin)：对边比斜边，即sinA=a/c余弦(cos)：邻边比斜边，即cosA=b/c正切(tan)：对边比邻边，即tanA=a/b余切(cot)：邻边比对边，即cotA=b/a正割(sec)：斜边比邻边，即secA=c/b余割(csc)：斜边比对边，即cscA=c/a

2.特殊角三角函数值

3.互余角的关系

sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-cotα, cot(π-α)=-cota.

4.平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

5.积的关系

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

6.倒数关系

tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1

7.诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα

8.两角和差公式

(1)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

(2)sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

(3)cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

(4)cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

(5)tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

(6)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

(7)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

(8)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！

1.半角公式

注：正负由α/2所在的象限决定。

2.积化和差，和差化积公式

(1)2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

(2)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

(3)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

(4)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

(5)sinA+sinB=2sin（(A+B)/2）cos（(A-B)/2）

(6)cosA+cosB=2cos（(A+B)/2）sin（(A-B)/2）

(7)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

(8)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

3.万能公式

其实三角函数公式数量虽多，但大家只要能够做到理解其含义，公式间是可以相互推导的，当然在考试的时候由于解题时间有限，所以还是要在平时多加练习才能加强记忆哦！

最后小面要送大家一首三角函数记忆口诀，希望每个童鞋都能成功通过“三角函数”这道难关：

三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字1， 连结顶点三角形；

向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，

保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1加余弦想余弦， 1减余弦想正弦，

幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，

先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，

简单三角的方程，化为最简求解集。

等一个一键三连～

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