正割函数的积分-正割函数积分推导过程详解 收藏 0

三角函数是如此重要，微积分十六个简单导数里它占了十个之多

在数学、物理学和工程力学等诸多领域，矢量是很一个重要的概念。简单的去理解它，就是带方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力学领域，两个不方向的量，其性质可能会有本质的区别。比如下图：

这是一个对曲杆进行内力分析的微分单元。

在这个微分单元的左侧，对于轴力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2构成剪切力的合力；而剪切力Q也一样，其在轴向上的分矢量Q*sin θ/2，和轴力N的分矢量N*cos θ/2构成轴力的合力。

在这个微分单元的右侧，是对左侧进行一个微增量后的结果。比如，轴力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲杆的微弧长dl。对于dN，仍然要进行矢量分割，dN*sin θ/2计入剪切力，dN*cos θ/2计入轴力。最终求积的微分中一定会有这样的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。

从某种意义上说，微积分本身就是应曲线研究而生的。曲线微增量dl是无法取值的，只能转换成dl=rdθ，再换算成X轴和Y轴的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。这使得我们在用微分积解决问题时，非常大的概率会遇到三角函数求导数或求积分。

可以说，三角函数是微积分中最重要的基本函数，在十六个简单导数中它占了十个之多。

既然明确了三角函数的重要性，那我们不妨进一步了解一下这十个简单导数的求导过程。

1、正弦函数y=sin x;

(sin x)\’=lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h

=lim(h→0)[2cos (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)cos (x+h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=cos x

2、余弦函数y=cos x;

(cos x)\’=lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h

=lim(h→0)[-2sin (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)[-sin (x+h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=-sin x

3、正切函数y=tg x;

(tg x)\’=(sin x/cos x)\’

=[(sin x)\’*cos x-sin x*(cos x)\’]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

4、余切函数y=ctg x;

(ctg x)\’=(cos x/sin x)\’

=[(cos x)\’*sin x-cos x*(sin x)\’]/sin^2 x

=-(sin^2 x+cos^2 x)/sin^2 x

=-1/sin^2 x

=-csc^2 x

5、正割函数y=sec x;

(sec x)\’=1/cos x

=[(1)\’*cos x-1*(cos x)\’]/cos^2 x

=sin x/cos^2 x

=sec x*tg x

6、余割函数y=csc x;

(csc x)\’=1/sin x

=[(1)\’*sin x-1*(sin x)\’]/sin^2 x

=-cos x/sin^2 x

=-csc x*ctg x

7、反正弦函数y=arc sin x;

因为y=arc sin x是x=sin y的反函数，所以有，(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=1/√(1-x^2)。

8、反余弦函数y=arc cos x;

因为y=arc cos x是x=cos y的反函数，所以有，(arc cos x)\’=1/(cos y)\’=-1/sin y。接下来，我们把sin y转换成余弦cos y，并进一步转换成x。

因为，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=-1/√(1-x^2)。

9、反正切函数y=arc tg x;

因为y=arc tg x是x=tg y的反函数，所以有，(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把sec y转换成余弦tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y，所以有，(arc tg x)\’=1/√(1+x^2)。

10、反余切函数y=arc ctg x;

因为y=arc ctg x是x=ctg y的反函数，所以有，(arc ctg x)\’=1/(ctg y)\’=-1/cec^2 y。接下来，我们把cec y转换成余弦ctg y，并进一步转换成x。

因为，cec^2 y=1+ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)\’=-1/(1+x^2)。

有这十个三角函数的导数做基础，再也不用担心曲线分析了。

本想走捷径反而更烧脑，只有天才能想明白的高数积分公式

这是一整套公式，老黄已经探究了其中的大部分。它是基于余弦和正弦的幂积不定积分递推公式的。

前面老黄推到余弦负整数幂与正弦正整数幂的不定积分公式，也就是正割正弦正整数幂积的不定积分公式。最近是关于两个指数相差一个奇数时的公式，在《老黄学高数》系列学习视频中，用了第279讲和第280讲两讲的内容来进行分析。

这回老黄要推导的是余弦正整数幂与正弦负整数幂的不定积分公式，也就是余弦余割的正整数幂积的不定积分公式。两个指数相差一个偶数的情况，已经和正割正弦正整数幂积的不定积分公式一起推导出来了。在《老黄学高数》第278讲中有详细的介绍。所以接下来只要推导两个指数相差一个奇数的情况就可以了。一般地，用m表示余弦的指数，用n表示余割的指数，就是当|n-m|=2a+1时的公式。

如果像推导正割正弦幂积的公式一样再推一遍，就有点重复工作，虽然过程略有不同，但大同小异。因此老黄决定直接利用sin(x+π/2)=cosx和sec(x+π/2)=-cscx这两个公式，把余弦余割的幂积转化成正割正弦的幂积来解决。原本以为，这样会比较简便，没想到却更加烧脑。能想明白的，那脑子都是天才级别的。老黄能推出结果，但没办法想明白。假如有机会当面告诉你的话，可以给你讲明白。但写文章，必须结合你自己的理解。高等数学就是这么神奇。能推导出来，也能讲明白的东西，偏偏就想不明白，你说好玩不好玩！只有天才才能想明白。

第一件烧脑的事情是，原本习惯用m表示余弦(或正割)的指数，用n表示余割(或正弦)的指数，但换元之后，却会变成用n表示正割的指数，用m表示正弦的指数。为了保持习惯，不得会先用n表示正割的指数，用m表示正弦的指数，然后才能确保最后用m表示余弦的指数，用n表示余割的指数，所以公式中所有m,n都要对调一下。是不是很绕啊？

第二件烧脑的事情是m,n的奇偶性是不同的，因此在运用正弦余弦和正割余割关系转化时，涉及到符号的问题时，很容易给搞错了。

第三件烧脑的事情是系数虽然原本就是确定的。但通过探究的深入，会发现，原本的某些系数确定得并非百分之百合理，通过新一轮的探究，老黄发现，最好把公式中所有的双阶层写成绝对值的双阶层，这样可以使公式的普遍性更好。

这些烧脑的事情说起来轻巧，真正实际操作，就会乱如麻，很容易出错。而一旦出错，想要纠正所花的时间，真不是你想象得出来的。老黄做的是学习作品，并不能由着它去错，必须尽可能保证百分之百正确，以免“误人子弟”。所以这些作品是花了老黄老多心血的哦。不过尽管这样，仍免不了会出一些差错，希望大家带着自己的判断来阅读。毕竟能看这些内容的，多数都是人家的成年子弟了。

下面先看正割指数较大的正割正弦正整数幂积不定积分公式：

这个公式转化成余弦余割的幂积公式时，就会变成余割的指数n较大的情况。就是这么烧脑。先看m=2k时的推导过程：

最后还会有一个n-m=1的特殊情形。

来一道例题强化一下：例1：求∫(cosx)^4*(cscx)^7dx.

再看m=2k+1的推导过程：

同样最后会有一个n-m=1的特殊情况。公式是不同的，所以称之为特殊情况，如果只是化简了公式，就不称为特殊情况。

接下来的例题就看看这种特殊情况下的结论：例2：求∫(cosx)^5*(cscx)^6dx.

本文中所有例题的结果，老黄都已经检验过了。大家也可以自己检验一下。有些检验起来同样特别烧脑。对这方面的计算能力的提升还是大有裨益的。

接下来看正弦的指数较大时的正割正弦正整数幂积公式：

当m=2k+1的公式中，分母有原来有因式(m-2)!!和(m-2i)!!，括号都被老黄改成了绝对值符号了。因为这样当m=1时，公式也是成立的。

而换元转化成余弦余割的幂积公式时，就反而变成余弦的指数m更大了。先看n是偶数时的推导过程：

有例3：求∫(cosx)^5*(cscx)^4dx.

例3的n-m=1，但公式只是可化简，并非一个新的形式。再看n是奇数时的推导过程：

最后是例4：求∫(cosx)^6*(cscx)^3dx.

最终公式归纳如下：

瞧，老黄说没几个人能够看明白，能想明白的都是天才，没有骗你吧！虽然看不明白，但是运用起来却是超好用的。下次老黄还要给大家分享正割余割的正整数幂积不定积分公式的推导，相当于余弦正弦的负整数幂积的不定积分公式。有兴趣的小伙伴们，记得关注老黄哦。

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