正割函数公式、正割函数公式图像 收藏 0

三角函数定义及诱导公式

友情提示：本文有点长，将近3000字，分成了两部分发出来。

三角函数是中学数学学习的重点、难点之一。有同学数学学习本来还不错，但从三角函数开始情况变得不再乐观，学习开始发懵，感觉到数学学习力不从心，学习成绩明显下滑：要么概念不能熟练掌握、不好理解；要么觉得公式太多，没办法背熟、记全；要么三角函数特殊角的数值大小、正负记不牢，容易混淆。因而，三角函数成为中学数学学习上的拦路虎，甚至成为部分学生的噩梦。

下面，以平面直角坐标系作为基础，从基本概念开始介绍，希望能够降低三角函数的学习难度，帮助大家更快更好地掌握三角函数。

一、 准备知识

1、 平面直角坐标系

如图1所示，建立平面直角坐标系xOy，坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分，分别称做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。

图1 平面直角坐标系

2、 角度正、负规定

以平面直角坐标系原点O为圆心，做半径为r的圆，半径OA与x轴的夹角记为α，如图2所示。

α角大小的变化，可以看做是A点以r为半径绕原点O转动所致，A点转动的起始位置在x轴上。

图2

规定：从x轴指向半径OA，逆时针时α角为正值，顺时针时α角为负值。

如图3所示，α=45度或者-315度；

图3

如图4所示，α=180度或者-180度。

图4

3、 角度单位：弧度（rad）

大家都知道，角度的常用单位是度，转一圈是360度，平角是180度，直角是90度。

俗话说入乡随俗，到哪道山唱什么歌。在数学、物理等学科，角度的单位一般不再用度，而是用弧度。弧度的英文词汇是radian，缩写成rad，不过人们习惯弧度的单位省略不写。

（1）弧度的定义：弧度制指对于一个圆，用弧长l与半径r之比来度量对应圆心角α角度的方式，如图5所示。

图5

（2）弧度与度的换算

根据弧度定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度；一个圆周长是2πr，其圆心角就是2π弧度，简称2π。弧度与度的换算关系如下：

弧度的精髓就在于它是一个与圆半径无关的量，从而大大简化了有关公式及运算。

4、 半径OA的投影

如图6所示，对于锐角α，A点位于第一象限，半径OA在x轴上的的投影为OB，长度记为x；半径OA在y轴上的的投影为OC，长度记为y，则三角形OBA构成直角三角形。

图6

二、 三角函数的基本定义

在直角三角形OBA中，直边x、y及斜边r与角α的基本关系有六种：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，常用的是前三种函数。

这六种函数的定义如下：

1、 正弦函数

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值，称做α角的正弦函数，简称α角的正弦，记作sinα（sin是正弦一词的英语词汇sine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，sinα=0，最小；当α=90度时，y=r，sinα=1，最大；所以sinα的取值范围有：0≤sinα≤1。

2、 余弦函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比值，称做α角的余弦函数，简称α角的余弦，记作cosα（cos是余弦一词的英语词汇cosine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，cosα=1，最大；当α=90度时，x=0，cosα=0，最小；所以cosα的取值范围有：0≤cosα≤1。

3、 正切函数

在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比值，称做α角的正切函数，简称α角的正切，记作tanα或tgα（tan、tg都是正切一词的英语词汇tangent的缩写），即

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，y=0，tanα=0，最小；当α=90度时，x=0，y=r，tanα趋于无穷大，发散；所以tanα的取值范围有：0≤tanα<∞。

4、 余切函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与对边的比值，称做α角的余切函数，简称α角的余切，记作cotα或ctgα（cot、ctg都是余切一词的英语词汇Cotangent的缩写），即

从定义上可以看出，余切是正切的倒数，有

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上也可以看出，当α=0时，x=r，y=0，cotα趋于无穷大，发散；当α=90度时，x=0，y=r，cotα=0，最小；所以cotα的取值范围有：0≤cotα<∞。

5、 正割函数

正割函数是余弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与邻边的比值，记作secα（sec是正割一词的英语词汇Secant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，secα=1，最小；当α=90度时，x=0，secα趋于无穷大，发散；所以cosα的取值范围有：1≤secα<∞。

6、 余割函数

余割函数是正弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与对边的比值，记作cosecα（cosec是正割一词的英语词汇Cosecant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，cosecα趋于无穷大，发散=0；当α=90度时，y=r，cosecα=1，最小；所以cosecα的取值范围有：1≤cosecα<∞。

（待续）

直角三角形，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的定义以及函数

直角、锐角、钝角：

1、直角：一个角等于90°，表示为∠C = 90°。2、锐角：一个角小于90°，表示为∠A或∠B。3、钝角：一个角大于90°，表示为∠A或∠B。

定义三角形C为直角，∠A、∠B、∠C对应的边分别为：a、b、c。

直角三角形三边的关系：a^2+b^2=c^2

直角三角形的面积：S=1/2ab

直角三角形的周长：C = a + b + c

正弦函数用sin表示：sinA=对/斜=a/c

余弦函数用cos表示：cosA=临/斜=b/c

正切函数用tan表示：tanA=对/临=a/b

余切函数用cot表示：cotA=临/对=b/a

正割函数用sec表示：secA=斜/临=c/b

余割函数用csc表示：cscA=斜/对=c/a

定义

对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为：f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：a/sin A=b/sin B=c/sin C。

高中数学学习（20）——三角函数及其基本公式

上一节，咱们说了高中角的扩展，，这一节我们来说说三角函数。

三角函数是高中数学所占篇幅最大的章节，也是题型变化最多的章节，大家一定要多学多练。

初中我们已经接触过三角函数了。

当时我们接触的三角函数是三个：正弦sin，余弦cos，正切tan。

实际上，三角函数有6个，除了上述三个外，还有余切cot，正割sec，余割csc。

我们之所以更多地使用其中的三个，是因为后三个与前三个互为倒数关系，余切是正切的倒数，正割是余弦的倒数，余割是正弦的倒数。

相对来说，正弦、余弦和正切的规律性更强，因此我们用这三个用的最多。

至于后三个，考试中也是可能考到的，会以拓展题的形式考察，也就是先给大家说明一下，然后考察相关问题。

心法口诀：一全正，，二正弦，三正切，四余弦。

也就是说，第一象限内三个三角函数值都是正的，第二象限内只有正弦是正的，第三象限内只有正切是正的，第四象限内只有余弦是正的。

这两个公式，有很多学校在初中时就已经给学生了。

他们是三角函数的最基础公式，另外还有一个名字，叫做三角函数的速效救心丸。

速效救心丸大家都知道，是救命的，这两个公式被称为速效救心丸，可见其重要性。

三角函数后期主要出化简题，当你发现还不动了的时候，就想想这两个公式，一定能顺下去；平常做题也多想想这两个公式，你会发现它们无处不在。

这是高中三角函数遇到的第一批公式。

是的，三角函数是公式最多的，而且都是成批量出现的。

sin（α+2kπ）=sinα；

cos（α+2kπ）=cosα；

tan （α+2kπ）=tanα；

sin（-α）=-sinα；

cos（-α）=cosα；

tan（-α）=-tanα；

sin（π±α）=-sinα；

cos（π±α）=-cosα；

tan（π±α）=tanα；

sin（π/2+α）=cosα；

cos（π/2+α）=-sinα；

tan（π/2+α）=-cotα；

sin（π/2-α）=cosα；

cos（π/2-α）=sinα；

tan（π/2-α）=cotα。

他们的心法口诀是：奇变偶不变，符号看象限。

特别解释一下，奇变偶不变。

意思是什么呢？

也就是当与α相加减的是π/2的奇数倍时，正弦要变余弦，余弦要变正弦，正切要变余切，余切要变正切；当与α相加减的是π/2的偶数倍时，正弦还是正弦，余弦还是余弦，正切还是正切。

抛开心法口诀，我们可以总结其变化规律，来一次性把这一组公式全记住。

诱导公式无非就是四种情况：α前面加“-”号的，α与π/2的加减关系，α与π的加减关系，α与2π的加减关系。

诱导公式的变化无非就是两种，一个是三角代号变不变，一个是正负号问题。

总结起来就是，四种变化中，只有和π/2产生关系的才变三角代号，也就是sin变cos，cos变sin，tan变cot，cot变tan，而且关于切的我们一般不考。

至于正负号问题，我们可以把α默认为第一象限角，然后计算出变化后的角处于第几象限，其计算结果是正是负，如果是正，则不带“-”号；如果是负，则带“-”号即可。

只要掌握了这个规律，诱导公式就全部记住了。

（1） 若角α与角β终边在一条直线上，则α-β=kπ，k∈Z；

（2） 若角α与角β终边关于x轴对称，则α+β=2kπ，k∈Z；

（3） 若角α与角β终边关于y轴对称，则α+β=（2k+1）π，k∈Z；

（4） 若角α与角β终边关于原点对称，则α-β=（2k+1）π，k∈Z；

（5） 若角α与角β终边垂直，则α-β=（4k±1）π/2，k属于Z。

上面我们讲了三角函数的基本概念和基础公式，下一节，我们讲三角函数的图像与性质。

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