正割函数单调性 正割函数的单调性 收藏 0

解剖麻雀，函数的单调性ABC

本文主要内容，介绍基本函数的单调性、函数单调性的性质及函数单调性的判断和单调区间的求解。

• 函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

• 在定义域范围内的某个区间D上，当自变量增加而函数值随之减小，则称之为单调增函数，反之称之为单调减函数。增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。单调增函数和单调减函数统称为单调函数。

• 不是所有函数都是单调函数。如果说该函数f(x)在某个区间D上具有单调性，则将区间D称作函数的一个单调区间。

常数函数y=C

• 对单调性的函数而言，它可能只有一个或多个单调增区间，也可能只有一个或多个单调减区间，还可能既有一个或多个单调增区间和单调减区间。

• 1.常数函数y=C,不是单调函数，没有单调区间。

• 2.一次函数y=ax+b(a≠0)定义域为R，是单调函数，单调性取决于a的正负。当a>0时为单调增函数，单调增区间为(-∞，+∞）；当a<0时为单调减函数，单调减区间为(-∞，+∞）。

• 3.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）定义域为R，具有单调性，有单调区间，取决于a的正负和对称x0=-b/2a的值。当a>0时，区间(-∞，-b/2a）上为单调减区间,(-b/2a，+∞)上为单调增区间；当a<0时，区间(-∞，-b/2a）上为单调增区间,(-b/2a，+∞)上为单调减区间。

• 4.幂函数y=x^a，其单调性要根据a的取值来讨论。如a=2时，y=x^2是二次函数的一种情形，单调性符合二次函数性质；当a=3时，y=x^3则在整个实数范围内为单调增函数，单调增区间即为(-∞，+∞)。

• 5.指数函数y=a^x（a>0且a≠1）定义域为R，其单调性取决于a的取值。当a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减。

• 6.对数函数y=loga(x）（a>0且a≠1）定义域为定义域是（0，+∞），单调性取决于a的取值。当a>1时，在定义域上为单调增函数；当0<a<1时，在定义域上为单调减函数。

• 7.反比例函数y=k/x(k≠0）定义域要求x≠0，其单调性取决于k的正负。当k>0时，函数在（-∞，0），（0，+∞）上同为减函数；当k<0时，函数在（-∞，0），（0，+∞）上同为增函数。

• 8.三角函数类型比较多，如正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=ctgx、正割函数y=secx、余割函数y=cscx、正矢函数versinx=1-cosx、余矢函数coversinx=1-sinx、半正矢函数haversinx=(1-cosx)/2、半余矢函数hacoversinx=(1-sinx)/2、外正割函数exsecx=secx-1等。前四种常见三角函数的单调性如下：

对于y=sinx，增区间为[2kπ-π/2，2kπ+π/2],减区间为[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]。

对于y=cosx，增区间为[2kπ-π，2kπ],减区间为[2kπ，2kπ+π]。

对于y=tanx，增区间为[kπ-π/2，kπ+π/2]。

对于y=ctgx，减区间为[kπ，kπ+π]，以上k∈Z。

• 1.f(x)与f(x)+C（C为任意常数）具有相同单调性；

• 2.f(x)与 g(x) = C*f(x)在 C>0 时有相同单调性，当 C<0 时，具有相反单调性；

• 3.当f(x)、g(x)都是增函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增函数；若两者都恒小于零，则为减函数；

• 4.当f(x)、g(x)都是减函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为减函数；若两者都恒小于零，则为增函数；

• 5.两个增函数之和仍为增函数，如y=x^2+2^x；增函数减去减函数为增函数,如y=x^2-2^(-x)；

• 6.两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。

• 7.对复合函数y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定，并符合“同增异减”判断规律。

• 1.定义法

根据函数单调性的定义，判断函数单调的步骤为：

①在区间D上，任取x1,x2，不妨令x1<x2;

②作差f(x2)-f(x1)；

③对f(x2)-f(x1)的结果进行变形处理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等方法)；

④确定符号f(x2)-f(x1)的正负；

⑤下结论，若f(x2)-f(x1)>0,则为增函数，该区间D为增区间；若f(x2)-f(x1)<0,则为减函数，区间D为减区间。

• 2.导数法

如果函数y=f(x)在区间D内可导，若x∈D时恒有f\'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f\'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

对于上述两种方法，定义法一般主要用于判断或证明，导数法不仅可以判断函数的单调性，还可以求解函数的单调区间。导数是求解函数单调区间的重要方法。

三角函数图像与性质及函数y=Asin（ωx+∮）的图像变换的深度剖析

三角函数作为高考必考章节，虽说定位之高，但是考查题型比较固定，属于送分题型，不知各位亲们，看了这句话作何感想？送分？怎么可能？那多公式，我至今不记得，学过就忘掉。。。。。。

却是，如上图，三角公式是整个高中数学章节中结论最多，公式最多的一个章节， 如何做到不记忆公式而能达到熟练应用公式而解题的目的呢？还是一句话，只有站在理解的程度上，才能融汇贯通，一通百通，无敌于天下。

还有就是巧记，利用一些口诀和图形，帮助我们来记忆和理解，相信上面这个图大家记忆尤深。

今天我们就来就三角函数图像与性质及函数y=Asin（wx+∮）的图像变换做一下深度剖析，学会了，理解啦，三角必得分。

第一、我们要明确我们所学的三角函数有哪些？

有的同学可能要说，不就是正余弦，正切函数吗？不假，再加上一个余切更完美了，如果再添上正割余割就更加 beautiful啦！哈哈，正割余割高中阶段不做要求，不考，我们也就不赘述啦。且看正余弦，正切函数图像于性质：

结合正切函数y=tanx的图像与诱导公式 tan（π/2+α）=-cotα，我们可以得到y=cotx的图像与性质，如下图：

下面是y=cotx的详图；

这是y=tanx与y=cotx交织在一起的美图，数学之美由此可见；

不忍正割余割落下，大黄这里也把他拉起来，呈现在大家面前，给大家一个完美的三角函数图像与性质版图。详见下图：

（1）正割函数：y=secx

（2）余割函数：y=cscx

（3）正割与余割函数交织在一起的美图；

看了以上三角函数的各个图像以及性质，相信大家头脑中一个“懵”字了得，图形很美，但是我如何来学啊，怎样画啊，哈哈，难为大家啦，今天大黄为你解惑来啦！且看

第二、三角函数图像如何来画？

1、描点法：老基础的方法啦，按照列表，描点，连线三部曲做出即可；

2、几何法：借助于三角函数线，通过平移来做；

3、五点法：先描出5个关键点，再用光滑的曲线连起来，主要应用于对图像精度要求不高的情况下。

4、变换作图法：主要针对函数y=Asin（wx+∮）的作图，这里A叫做振幅，T=2π/|ω|，f=1/T叫做频率，wx+∮叫做相位，∮叫做初相。

（1）相位变换：把函数y=sinx图像上所有点向左（∮＞0）或者向右（∮＜0）平移|∮|个单位，得到y=sin（x+∮）的图像；

（2）周期变换：把函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的1/ω倍，得到y=sinωx的图像；

（3）振幅变换：把函数y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长为原来的A倍，得到y=Asinx的图像；

注意：

1、由y=sinx得到y=Asin（wx+∮）的过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的思想；

2、若y=Asin（wx+∮）中的w＜0，可先用诱导公式把x前的系数变为正数，然后进行变换；

3、其性质中：最值问题，对称轴，对称中心，奇偶性，单调性，周期性参考上图并融入正弦函数的图像与性质，理解起来会更加容易和鞭辟入里；

第三、就三角函数的性质的几点说明：

1、奇偶性

判断方法如下：

（1）定义法：利用定义，明确定义域，结合f（-x）与f（x）的关系即可；

（2）图像法：利用图像的对称性来确定其奇偶性，奇函数图像关于原点对称，偶函数关于y轴对称；

（3）验证法：即验证f（-x）±f（x）=0或者f（-x）/f（x）=±1是否成立；

（4）特殊值法：首先看定义域是否含有0，如果含有0，验证f（0）=0是否成立，之后在举除0外的特殊值，参照验证法。

一般步骤：

（1）一般情况下，需要对函数式子进行化简；

（2）求函数的定义域；

（3）依据函数的定义域是否为关于原点对称的点集，此为判断函数的奇偶性的必要条件；

（4）若定义域不能判断，再用定义法等其他方法来展开。

2、周期性

周期通常指的是非零常数T，KT（K为整数）也为函数的周期；

最小正周期说明：

（1）并非所有的周期函数都有最小正周期；

（2）若涉及周期，如不特别说明，一般指的是函数的最小正周期；

最小正周期的常用求解方法：

（1）结论法：

正弦、余弦：T=2π/|ω|，正切、余切：T=π/|ω|；

（2）图像法：

做出函数图像来确定其最小正周期；

（3）定义验证法：

f（x+T）=f（x）对于定义域中所有的元素都成立的非零常数T即为周期。

3、已知三角函数值求角

实际上这是求解最简单的三角方程，若求的角的范围不限定在某个单调区间范围内，则得出的解不唯一，这个可以通过周期了解。

4、单调性

整体法是求解的主要方法，结合y=sinx或者y=cosx的单调区间，直接套即可，选择区间的时候需要关注ω的正负，一般先通过诱导公式，把式子换成x前系数为正值的情况，然后整体代换，如果ω＜0，求区间的时候注意要相反来求；这一版块儿比较重要，切记。不了解的同学，随时@大黄，评论区留言；

1、单调性：三角函数在整个定义域内没有单调性，只在局部有单函数调性；

2、对称性：正余弦函数图像的对称中心为图像与x轴的交点，而正切函数图像的对称中心除了图像本身与x轴的交点之外，还有其渐近线与x轴的交点；

3、平移变换是针对x而言的，由∮决定，伸缩变换是有ω决定，y=Asin（ωx+∮）中的平移变换，需要考虑ω；

4、在用三角函数建模求解实际问题的时候，易错之处在于忽略实际问题中的自变量的取值范围。

以上，是三角函数图像与性质及函数y=Asin（ωx+∮）的图像变换的深度剖析，未尽之处还有很多，限于篇幅，我们下篇再见，大家如有其他想法，欢迎大家评论区留言@大黄，关注大黄，学习更多。

本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com