指数函数的概念教学设计、指数函数的概念教学设计思路 收藏 0

【高一新教材那些事】公开课《对数的概念》教学设计过程和反思

本文共2660个字，阅读本文大约需要6~8分钟，“三公开”详见第四部分《后记》。

公开课进行时

高一使用新教材已经近三个月，选择在第二次阶段考试后安排公开课的，从时间上来说刚刚好，因为三个月之适应与磨合，学生于我共同研讨新教材的时机已经具备。从三个月的教学实践来说，新教材前后的连贯性和逻辑性也是非常强的。虽然在这一块，我们看到的公开的资料并不多，但也不敢轻易发表相关看法，一直都是在一边不断参悟教材编写者的意图，一边实施教学活动。不过作为一线教学人员，还是可以结合教学实际谈谈看法的。这一次当然是结合笔者的公开课《对数的概念》的设计过程和教学实践写一些心得，望各位同行看到时，可以一起参与交流，针对本文一些不妥想法可以提出批评指导意见，正所谓“抛砖引玉”！

“裸课”还是不能太裸

NO.01

前两年，全国著名特级教师张祖庆的文章《老师，你敢上“裸课”吗？》引起了不小的反响。在文章中，张祖庆老师批评了反复演练、不断磨课才“上演”的公开课，日里磨课，夜里梦课，死去活来，活来死去。而在张祖庆老师看来，不经预演、排练的不完美的“裸课”才是老师们修炼的法门。

正如那位律师朋友所说：“公开课，本来就不应该试教。我从没听说过哪位律师开庭，需要‘预演’。”支持方认为：摒弃一次次地排练预演，一堂实实在在的原生态的课,没有华丽语言的堆砌,没有旁征博引的纷呈,未经精雕细琢,体现了“非观摩课”的本真性。

具体内容可以参见《关注| 老师，你敢上“裸课”吗？（深度好文）》

在这一思想的影响下，我从开始尝试了学生预习清单的设置，到后来抛弃此做法，跟学生只简单的提醒了几句要阅读一下教材并做完教材练习，然后就什么都没再做要求了。当然我以为并非“裸课”就是不写教案、不做课件、不做预设？非也！我还是几经修改完成了本节课了教学设计，对几个主要问题进行了预设。这或许就是我的观点：裸课还是不能太裸！

核心素养还得有

教学设计—预设？或许生成会走样

NO.02

显然，我反复阅读了本节课的教师用书，力求通过教参的描述找到新旧教材的差异，以便设计出符合新教材的教学活动。

梳理一下：我们分几个问题来思考。

第一个问题：对数引入的必要性问题。

按照教材的承上启下，我以为不宜搞过多的花样，直接用介绍指数函数时的实际问题背景切入。从指数函数到指数方程，再到求解指数方程的问题。

继续追问指数方程中的变量如何表示的问题？

显然已有知识无法表示，开始探究。

到此已经引入了对数，接下来进入第二个问题。

第二个问题：对数的概念及深化

对数“概念和思考”需要板书，引入概念后板书就会慢下来，一边板书一边理解，学生的注意力在板书的内容和思考上。可类比指数函数中对底数的范围的探讨进行。

按照教参的意图，继续介绍概念，对于无理数e，是一个超越数，将在后续中感知它的作用，不必介绍过多。

深化对数概念之后，我们开始进入第三个问题：对数概念的精致（指数式与对数式互化问题）

搞清楚上述字母的名称和含义，是对概念的精致理解。

第四个问题：通过例题和练习探究发现对数的三个常用结论和对数恒等式。

下图为原设计中的幻灯片

（后来发现上图的探究发现2的对数恒等式形式不正确，应该是另一种形式，将在第三部分《一路探究，素养相随》中反思说明）

若时间允许，我们还可以做点提高训练。

第五个问题：结合教材的阅读材料《对数的发明》介绍一下对数的思想方法，让学生体会下对数的降级运算特征。然后感受下对数在现实生活中的应用（物理、化学、生物、地理等）

（显然上图中没有把另一种变形（真正的对数恒等式）标注出来，将在第三部分《一路探究，素养相随》中反思改进）

预设是必要的，

生成也是会走样的

一路探究，素养相随，

但终究是一个潜移默化的过程

NO.03

显然，引入对数概念的过程还是比较顺利的，基本符合预设的要求。你要说有没有达成素养（数学抽象—抽象出对数函数的概念）？我只能说已经完成了对数引入必要性的探讨，也就是说已有知识已无法解决指数方程的解的问题，用对数表示方程的根的同时也就明确了对数的概念，然后再对概念进行深化。然而探究底数的取值范围时没有放点时间给学生思考，只顾着板书说明了，（其实我还是比较喜欢板书的），因为板书时节凑会慢下来，会产生思考的空间，会把学生注意力吸引到黑板内容上，这可以做到。虽然可以类比指数函数时底数的探讨，但是就探讨的情况来说，还是有些难的，学生未必都理解了，需要从指数式的角度理解为什么有些数对数不存在，有些数存在无数个对数？即便不能马上理解，也不影响，会在后续运算中慢慢理解。

进而我们又进入了另一个问题：指数式与对数式的互化（概念的精致）。这属于逻辑推理素养层面的问题，首先当然要搞清楚指数式和对数式几个量的名称和关系问题，然后我们能实现很自如的互化。

于是指对互化运算成为演练的主要内容，这就是所谓的数学运算素养。在运算过程中体会常用对数和自然对数这两类特殊的对数，在运算中探究对数的常用结论和对数恒等式，这是设计层面的考虑，从实践来看，整体的节凑还是偏快了点，特别对于探究2（例3），课件只呈现了变形1：对数常用结论3，而临时将第2种变形写在了黑板上，那是真正的对数恒等式，继续完善，指数式和对数式的互化有两种变形，一种是对数常用结论，一种是对数恒等式。

课后我再将此课件进行了完善，如下：

既是如此，课堂小结中也要将两种变形的结果体现出来。

对于对数的思想方法—-降级运算，通过阅读材料的学习，或许我们不能真正体会，主要给学生一种主观上的印象，对数确实有用的，通过如下幻灯片的呈现，我们了解到对数的应用很广，至于到底如何应用，后续学习再做研究。达到这个效果就可以了，因为要真正体会对数的降级运算，必须先学习对数的运算性质，这不就和后一节的内容自动衔接上了吗？

至于数学建模素养，这其实引入问题中可以看做是在实际问题中建立对数概念的理解，当然还可以再增加2个实际问题，建立起需要用对数来解决的函数模型，这或许是我在受“裸课”影响下，没有过多强调引入的例子问题，这样想来其实还是可以加实例的，毕竟数学最终还是为现实生活服务的。

有人说数学核心素养不可能通过一节课来达成，这种质疑是有道理的，数学核心素养也是讲究潜移默化的。作为课程目标设计进去是没有问题的，如何教学渗透这需要我们再做进一步的探讨。

磨损的黑板，清晰的符号

后记

NO.04

记得吴非老师说过一句话：公开课，公开的是教师的思维方法与探究意识，公开的是教师的教学追求，公开的是学生学习的状态。显然，要想达到吴老师所说的标准还很远很远。

因为有信仰，才不会迷路

「高频考点」指数函数

指数函数的重要的初等函数之一，是中学函数的基本知识。教师教育网根据考试大纲整理了相关知识，如下。

一、指数函数的概念

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R。

二、指数函数的图象和性质

指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：

1.当0<a<1时，图像如下：

定义域：R

值域：（0，+∞）

恒过定点：图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1

单调性：在（-∞，+∞）上是减函数

函数值的变化规律：

（1）当x<0时，y>1

（2）当x=0时，y=1

（3）当x>0时，0<y<1

2.当a>1时，图像如下：

定义域：R

值域：（0，+∞）

恒过定点：图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1

单调性：在（-∞，+∞）上是增函数

函数值的变化规律：

（1）当x<0时，0<y<1

（2）当x=0时，y=1

（3）当x>0时，y>1

三、底数对指数函数的影响

1.在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴。

2.底数对函数值的影响如图：

③当a>0，且a≠l时，函数

与函数y=

的图像关于y轴对称。

四、指数函数图象的应用

函数的图象是直观地表示函数的一种方法，函数的很多性质，可以从图象上一览无余。数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想，指数函数的图象通过平移、翻转等便可得出一般函数的图象，利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题。

指数函数的知识有其抽象性，记忆需要把握其规律性，可以从函数图像的规律中进行记忆。考生还可结合函数的知识总结的相关知识进行复习。

高中数学“指数函数的概念”知识点详解

一、引言

指数函数是高中数学中一类非常重要的函数，它在数学、物理、经济、工程等多个领域都有广泛的应用。掌握指数函数的概念和性质，对于理解更高级的数学知识和解决实际问题具有重要意义。本文将对“指数函数的概念”这一知识点进行详细解析，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、指数函数的概念

1. 定义：形如y = a^x (a > 0且a ≠ 1) 的函数称为指数函数。其中，a 是底数，x 是指数，y 是函数的值。例如，y = 2^x 和 y = (1/2)^x 都是指数函数。
2. 图象：指数函数的图象是一条经过点(0,1)的曲线。当a > 1时，函数图象上升；当0 < a < 1时，函数图象下降。
3. 性质：
4. 过定点：所有指数函数都经过点(0,1)。
5. 单调性：当a > 1时，指数函数在其定义域内是增函数；当0 < a < 1时，指数函数在其定义域内是减函数。
6. 值域：指数函数的值域为(0, +∞)。
7. 连续性：指数函数在其定义域内是连续的。

三、指数函数的运算性质

1. 乘法法则：同底数的指数函数相乘，底数不变，指数相加。即a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 除法法则：同底数的指数函数相除，底数不变，指数相减。即a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 乘方法则：指数函数的乘方运算，底数不变，指数相乘。即(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 根式与分数指数幂的转化：根式可以转化为分数指数幂的形式进行计算。例如，√a = a^(1/2)，√(a^3) = a^(3/2)。

四、指数函数的应用

1. 复利计算：在金融领域，复利计算经常涉及到指数函数的应用。例如，计算存款或贷款的利息增长情况，可以通过建立指数函数模型来解决。
2. 人口增长模型：在人口统计中，指数函数可以用来描述人口的增长情况。通过拟合历史数据，可以预测未来人口的发展趋势。
3. 放射性衰变：在物理学中，放射性元素的衰变过程可以用指数函数来描述。通过测量放射性元素的衰变率，可以推断出元素的半衰期等信息。
4. 工程领域：在工程问题中，许多自然现象和工程过程可以用指数函数来模拟和预测。例如，材料的疲劳寿命、化学反应的速率等都可以通过建立指数函数模型来进行分析和预测。

五、典型例题分析

本部分将通过具体的例题，详细解析如何利用所学知识解决与“指数函数的概念”相关的问题。包括求值、化简、证明等不同方面的应用实例。通过分析和解答这些例题，同学们可以加深对这一知识点的理解并提升解题能力。

六、总结与展望

通过本文的学习，同学们对“指数函数的概念”这一知识点有了更深入的理解。掌握这一知识点不仅有助于提高学生的数学素养和解决问题的能力，还为后续的学习和应用奠定了坚实的基础。希望同学们在未来的学习中不断巩固和应用这一知识点，探索更多与之相关的有趣性质和应用实例。同时，也期待教育工作者和研究者们能够不断完善和拓展这一领域的教学内容和方法，为学生提供更加优质的教育资源和指导。通过不断地学习和实践，我们相信同学们一定能够熟练掌握这一知识点，并在实际生活中加以应用。

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