指数函数的导数推导(指数函数的导数推导方法有哪些) 收藏 0

高中导数基本初等函数公式全解析：初学者必学，巧记方法助力进阶

高中导数运算中，在理解概念后，基本的初等函数的导数公式可是必须要好好掌握的内容呀！否则高中阶段后续的数学学习寸步难行，记忆这些公式还是有巧妙方法的了。

（如果不理解导数概念可以看下 ）

常见基本初等函数的导数公式可以分为5大类，大概如下：

像常数函数若，它的导数为0。想想看，常数就像一个静止的量，没有变化趋势，比如函数y = 5，不管x咋变，y始终是5，没变化，那导数自然就是0啦。

幂函数的导数公式(xⁿ)\’ = nxⁿ⁻¹也很关键。举例来说吧，函数y = x² ，按导数计算公式，它的导数就是2x 。其实就是把原来的指数拿下来当系数，指数再减1 。那y = x³ 的导数就是3x² 。大家不妨试试算下y = x⁴ 的导数。

指数函数y = aˣ （a > 0且a≠1），导数是y\’ = aˣlna 。特别注意的，当a = e时，y = eˣ ，它的导数就是它本身eˣ ，是不是很神奇 大家可以算算y = 2ˣ 的导数哦。

（e是什么？e是一个重要的数学常数，它是自然对数的底数，约等于2.71828。e有很多奇妙的性质和应用哦。从数学定义上来说，它可以通过极限的形式来表示，即。其实，在很多实际问题中，比如在研究连续复利、放射性衰变、生物种群增长等自然现象和经济问题时，e都起着非常重要的作用。函数的导数还是它本身这个性质，在高中阶段记住，直接运用就可以了啦！）

对数函数（a > 0且a≠1）的导数是。需要特别注意的是当a = e时，f(x) = lnx ，导数就是1/x 。比如求y = ln2x 的导数，要用到复合函数求导法则，先记住lnx导数是1/x这个基础哦。

y = ln2x 的导数推理过程

三角函数的导数也不能忽视。正弦函数y = sinx ，导数是y\’ = cosx ；余弦函数y = cosx ，导数是y\’ = -sinx 。其实，联想下它们的图像，能帮助我们记忆呢。

首先呢，咱们画出正弦函数y = sin x和余弦函数y = cos x的图像。正弦函数的图像就像波浪一样，在(x = 0)的时候，它是处于上升趋势的，对吧？这时候它的切线斜率是正的，而此时余弦函数

y=cos x在x = 0处的值cos0 = 1是正的。

正弦函数y=sin x 余弦函数y = cos x

随着(x)的增大，当正弦函数(y=sin x)到达波峰，也就是的时候，它在这一点的切线斜率为0)，而此时余弦函数y = cos x在处的值为0。

再继续看，正弦函数过了波峰开始下降，在(x=π)的时候，它的切线斜率是负的，而此时余弦函数y=cos x在此处的值也是负的。

从正弦函数(y=sin x)整个图像上看，它在各个点处切线斜率的变化趋势和余弦函数y=cos x的值的变化是对应的，所以我们就可以联想记忆正弦函数的导数是余弦函数，即(sin x)\’=cos x。

那对于余弦函数y=cos x呢，同样看它的图像。它在x = 0的时候，是处于水平状态然后开始下降的，切线斜率是0然后变为负的，而此时正弦函数y=sin x在x = 0处的值 0，随着x增大，它的切线斜率的变化趋势和正弦函数y = sin x的值的变化是对应的，只不过是相反的关系，所以余弦函数的导数是负的正弦函数，即(cos x)\’=-sin x。

要快速记住以上这些基本初等函数的导数公式，一方面要理解推导过程，另一方面得多做练习题，通过运用加深记忆。实在理解不了，那就记住直接拿来运用也是一个策略[呲牙]。

借力打力求导数，如果一个函数不好求导，不妨先求它反函数的导数

本篇是上一篇文章

的延续阅读。

在对幂函数y=x^μ求导时，我们用到了以自然常数e为底数的对数函数y=ln x的求导结果（ln x）\’=1/x。那么，它的求导过程是怎么样的呢？我们一起来了解一下。

对数函数y=log(a)x直接求导是很难实现的，因为[log(a)（x+h)-log(a)x]没法继续合并或分解。但前文中，我们已经求得了指数函数y=a^x的导数，(a^x)\’=a^x*ln a。既然两者互为正反函数，我们据此，来推导一下它们的导数之间的关系。

值得注意的一点是，对数函数y=log(a)x和指数函数y=a^x互为正反函数，是从它们的函数法则上讲的。对于反函数y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函数（或直接函数）表达式应为：x=a^y或g(y)=a^y。

设存在一个直接函数（或正函数）x=g(y)（导数已知），它的反函数为y=f(x)。

直接函数（或正函数）x=g(y)的导数g\'(y)=△x/△y，而反函数y=f(x)的导数f\'(x)=△y/△x。所以有f\'(x)=1/g\'(y)。也就是说，正反函数的导数互为倒数。

导数是需要极限运算的，上式中的g\'(y)和f\'(x)略去了极限字符lim，但这不影响两者的互为倒数关系。

我们先对直接函数g(y)=a^y求导，得：g\'(y)=a^y*ln a。

那么，反函数f(x)=log(a)x的导数f\'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f\'(x)=1/（x*ln a），记作(log(a)x)\’=1/（x*ln a）。取a=e时，（ln x）\’=1/x。

比较常见的正反函数还有三角函数和反三角函数。

我们以正弦函数和正切函数为例，来推导一下它们的反函数的导数。

先给出正弦函数y=sin x的导数f\'(x)=cos x，正切函数y=tg x的导数f\'(x)=sec^2 x。在后面的文章里我们会再作推导，欢迎关注阅读。

1、设正弦函数x=sin y为直接函数，它的反函数为反正弦函数y=arc sin x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=√(1-x^2)。

2、设正切函数x=tg y为直接函数，它的反函数为反正切函数y=arc tg x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把正割sec y转换成正切tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y=1+x^2，所以有，(arc tg x)\’=1+x^2。

看到此处，有的小伙伴可能会产生一些困惑：怎么一会y，一会x的，闹哪样啊？

对于反函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量；而对于直接函数（或正函数）x=g(y)，y是自变量，x是因变量。但在计算过程中，自变量和因变量的身份已经不重要了，重要的是x与y之间的函数法则不变。

比如，上面的等式(arc sin x)\’=1/cos y，我们用y\’来替代f\'(x)，即y\’=f\'(x)=(arc sin x)\’。可以得到一个新的等式：y\’=1/cos y。等式里已经看不到自变量x，但这样的表达式也是成立的，因为它已经是一个微分方程了。

无论原函数还是导函数，我们都可以把它看作是一个方程式。式中，无论x、y、x\’、y\’、dy、 dx，都是可以同时存在的，只要它们遵循正确的函数法则。

而我们要做的，是把它们转换成我们需要的样子。

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