高中函数导数知识点汇总: 含各个函数的求导公式(建议收藏)

高中函数导数是很重要的一个章节, 这里集中进行了一次性的整理,把知识点统一罗列出来

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求导法则：

  1. 求函数的增量：Δy = f(x + Δx) – f(x)
  2. 求平均变化率：平均变化率 = Δy / Δx
  3. 取极限：f\'(x) = lim(Δx → 0) [Δy / Δx]

运算法则：

  1. 和导：(u + v)\’ = u\’ + v\’
  2. 差导：(u – v)\’ = u\’ – v\’
  3. 积导：(uv)\’ = u\’v + uv\’
  4. 商导：(u/v)\’ = (u\’v – uv\’) / v^2，其中 v ≠ 0
  5. 复合函数求导：如果 y = f(u) 且 u = φ(x)，则 y\’ = f\'(u)φ\'(x) 或 dy/dx = d/dx(f(φ(x)))

常用导数：

  1. y = c (常数函数)，y\’ = 0
  2. y = x^n (幂函数)，y\’ = nx^(n-1)
  3. y = a^x (指数函数)，y\’ = a^xln(a)
  4. y = e^x (自然指数函数)，y\’ = e^x
  5. y = log_a(x) (对数函数)，y\’ = 1 / (xln(a))
  6. y = ln(x) (自然对数函数)，y\’ = 1 / x
  7. y = sin(x) (正弦函数)，y\’ = cos(x)
  8. y = cos(x) (余弦函数)，y\’ = – sin(x)
  9. y = tan(x) (正切函数)，y\’ = sec^2(x) 或 1 / cos^2(x)
  10. y = cot(x) (余切函数)，y\’ = -csc^2(x) 或 -1 / sin^2(x)

请注意，这里的 \”ln\” 表示自然对数，即以 e 为底的对数。同样，\”log_a(x)\” 表示以 a 为底的对数。此外，\”sec(x)\” 表示 x 的余割，而 \”csc(x)\” 表示 x 的正割。

数学发现：指数函数的求导原理所包含的数学奥秘

我们的数学课本给出了常用函数求导的数学过程和结果，但其过程包含的优美的数学规律却很少体现，本篇我们就以指数函数为例来发现数学的美

如下是一个有关2为底的指数函数：2^t，我们在这里研究下它的导数所蕴含的数学规律

根据函数的求导原理，2^t的导数的表达式就是

以及2^t导数所表示的切线斜率就是

我们将2^(t+dt)进行整合，如下图可以分拆为2^t 和2^dt

我们将2^t提取出来，如下图，我们现在要解决的就是等式右边括号内的式子

这是本篇的重点，我们假设dt=0.001，那么其结果等于

我们将上述dt继续缩小100倍，其结果仍是0.693……那么这个值是不是一个常数呢？

为了验证我们的猜测，我们继续将上述dt缩小1000倍，结果仍然是0.693……只是不断地趋于一个常数

所以我们可以肯定2^t的导数就是2^t乘以一个常数，这是所有指数函数都有的特性

本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com

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