反函数有什么性质—什么是函数的概念 收藏 0

反函数你了解多少？看到这道题基本都放弃了

大家对反函数的第一印象可能就是，自变量和因变量互换位置，函数与反函数关于y=x对称。但是大家常常容易忽略一些问题，比如，什么函数存在反函数？三角函数和反三角函数有什么关系？反函数性质在考研中如何用？

由于反函数在考研中不是重点，因此，反函数的含义和性质往往会成为大家容易忽视的一点，这对想要考高分的同学来说，不是一件好事。

什么函数存在反函数？

是不是任何一个函数都存在反函数呢？

不是，存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时，有且仅有一个y值对应；y取一个具体的数值时，有且仅有一个x值对应。如下图，x取1时，y只取一个数字12，y取12时，x也只能取一个数字1。这就是一一对应关系。

事实上，我们接触更多的是连续函数，而不是离散函数或者分段的不连续的函数。

连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。我们可以通过以下几幅图来理解下连续函数存在反函数的充要条件。

图（A）中函数f(x)是先递增后递减，不是严格单调，因此不存在反函数。从图像上可以明显看到，对于y的某些取值，x的可能取值有两个，说明图（A）中x与y不是一一对应的，自然也就不存在反函数。

图（B）的函数f(x)严格单调递增，因此存在反函数。从图像上也可以清晰看到，对于y的每一个取值，x只有一个值对应；同样，对于x的每一个取值，y只有一个值对应，故图（B）存在反函数。

图（C）的函数是递减函数，但不是严格递减，因此不存在反函数。

连续函数存在反函数的充要条件其实质就是从函数存在反函数的充要条件中推理得出来的。可以结合图形记忆连续函数存在反函数的充要条件。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单点说，就是三角函数的反函数。但其实更具体地、更准确地说法是，反三角函数是三角函数定义在一段单调区间内的反函数。这说明考虑三角函数的反三角函数，必须是在三角函数的一段单调区间内进行。

下面以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例进行说明。

前文说过，连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。从三角函数的图形上看，没有哪个函数在定义域内是严格单调的，但是若将各三角函数缩小到某个区间，三角函数在该区间内就是严格单调的，那么在这个区间内我们就可以定义反三角函数了。

正弦函数sinx在区间[-П/2,П/2]内存在反函数，并记为反正弦函数arcsinx。

余弦函数cosx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余弦函数arccosx。

正切函数tanx在区间[-П/2,П/2]存在反函数，并记为反正切函数arctanx。

余切函数cotx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余切函数arccotx。

通过上图的对比可以发现，函数的定义域就是其反函数的值域，函数的值域就是其反函数的定义域。一定要牢记上方三角函数在哪个区间内定义的反三角函数关系表，这对今后的做题很有帮助。

3.反函数重要考点

在考研中，我们需要注意反函数的两个公式和一条性质。

两个公式就是反函数的一阶导数和二阶导数公式，其导数公式内容和推导过程如下所示。

反函数的另外一条性质也很重要但经常被大家忽略。

反函数这条性质说明，对自变量x连续施加运算法则f和反函数运算法则φ,得到的结果是本身。

大家可以仔细品味下这条性质是如何来的。然后看看下面这道题，你会做么？

高中乃至大学都会学的内容之《复合函数》

之前我们认识了函数的概念以及反函数的概念，知道了函数的性质有周期性，单调性，奇偶性。

那么，这节课我们继续来看一下复合函数都有哪些知识点需要掌握呢？首先申明一下，这里的复合函数与值域和定义域的联系非常密切，大家在学习的时候一定要注意↓

在生活中，也是经常有关复合函数计算产量，利率等等实际问题，例如下面所示:

对于复合函数，在经济活动中，会遇到这样的问题：一般来说，成本G是产量p的函数，而产量p又是时间t的函数，时间t通过产量p间接地影响到成本G，那么成本G仍可以看成是时间t的函数，G与t的这种函数关系称为一种复合的函数关系。

接下来，我们再来看一下复合函数的定义：设函数y＝f(u)的定义域为Df，函数u＝Ψ (x)的值域为RΨ ，若RΨ 与Df的交集不等于空集，则y＝f(u)与u＝Ψ (x)可以复合成函数y＝f[Ψ (x)]，称y为x的复合函数，其中，x是自变量，u是中间变量。

定义看起来比较抽象，复合函数简单来说就是，由两个及以上的函数放在一起，构成一个新函数，但是这个新函数只能是一个，想必这样说，大家应该明白了吧！但是要注意的是，要学会区分在什么情况下，复合函数才成立，在什么情况下复合函数是不成立的。

即：当外函数的定义域和内函数的值域相交时有公共部分，这时复合函数成立，反之则不是复合函数。给大家举个例子↓

例如：y＝√u与u＝sinx－2就不能构成复合函数，因为u＝sinx－2的值域为u∈[－3，－1]与y＝√u的定义域u≥0的交集为∅

像上述这样的也是复合函数，这是由y＝|u|与u＝log₃x复合而成的函数。

其中y＝|u|的定义域为u∈(－∞，＋∞)，u＝log₃x的值域为u∈R，所以相交有相同部分，可以复合而成。

今天的内容就讲到这里，还有不懂的可以私信留言讨论，下节课再见。

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