正弦定理和余弦定理—正弦定理和余弦定理只能用于直角吗 收藏 0

高中数学：正弦定理和余弦定理讲解

正弦定理

1.三角形中常用知识

①任意三角形的内角和为三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

②大边对大角，小边对小角,有在中是的充要条件.

③锐角中，若即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有:

④三角形内的诱导公式

在中:

总结为任意两角和的正弦值等于第三个角的正弦值或互补的两个角的正弦值相等.

总结为任意两角和的余弦值与第三个角的余弦值相反或互补的两个角的余弦值互为相反数.

以上两条总结为两角和的一半的正（余弦值）等于第三个角的余（正弦值）或互余的两个角的正弦值和余弦值相等.

2.正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：

其中为的外接圆半径，以下证明会解释清楚.

2.正弦定理的证明

下面我采用两种方法来给大家证明：

法一：初中圆的相关知识点证明（如下图，在头条上搞数学符号不方便）

正弦定理的证明一

法二：由于前面我讲给向量的相关知识点，所以这里我采用向量给大家证明一下（如下图）

正弦定理的证明二

当然，证明方法还很多，有兴趣的请私信，这里不能写得太多。

3.由正弦定理推出的几个结论

③由等比性质和圆的性质可知:

其中，为外接圆的半径．

注意，在真正的高考大题目中，正弦定理起到一个角化边，边化角的作用。

4.三角形面积公式

在任意中，若有为内角的对边，则的面积：

①原始公式：

(表示边上的高)；

②由正弦定理变形可得：

③由正弦定理和余弦定理可推导出海伦公式（在讲完余弦定理再做证明）：

④三角形面积和内切圆半径的关系：

其中式中的为的内切圆半径.

5.正弦定理的适用范围

①已知两角和任意一边;

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角;

③几何作图时，有多种情况，如已知和求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数.

6.三角形解的个数问题

已知和解的情况如下图所示：

(1)为钝角或直角时解的情况如下图所示：

三角形解的个数问题

(2)为锐角时，解的情况如下：

三角形解的个数问题

余弦定理

1.公式：

2.余弦定理公式的推论：

3.余弦定理的另一种常见变形：

4.余弦定理的证明，这里我采用向量的方法加以证明，如下图所示：

余弦定理的证明

5.对余弦定理的理解

①余弦定理对任意的三角形都成立.②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角,有如下推论：

在中，有下列结论：

④余弦定理的另一种常见变式在考题中涉及得更多.

6.适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题

①已知两边及其夹角，解三角形；

②已知三边，解三角形．

7.综合余弦定理和正弦定理证明海伦公式如下图：

海伦公式的证明

正、余弦定理在高考中的价值取向

正、余弦定理在高考中的价值取向主要体现在以下几个方面：

一、重要的数学知识点

正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要组成部分，它们是揭示三角形中的边和角之间关系的重要定理。这两个定理的主要作用是可以根据三角形中一些边和角的值求出其它边和角的值，是三角函数中有关三角知识的延伸知识。

二、高考考查的重点

正、余弦定理是高考数学中的必考内容，通常会出现在三角大题中，考题一般属于中档难度类型。在近年高考题中，这两个定理频繁出现，且多以中档题的形式出现，在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。这显示出正、余弦定理在高考中的重要地位，也是考生必须熟练掌握和灵活运用的知识点。

三、培养学生能力

1.熟练记忆公式

要求学生对正弦定理和余弦定理的公式进行熟练记忆，这是解题的基础。

2.灵活运用公式

在解题过程中，学生需要根据题目条件灵活选择正弦定理或余弦定理，并结合三角恒等变换进行求解。这考查了学生熟练掌握公式和灵活运用公式的能力。

3.计算能力

正、余弦定理的题目通常需要进行一定的计算，包括化简、代入公式、求解等步骤。这要求学生具备较强的计算能力。

4.转化思想

在解题过程中，学生需要将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，这考查了学生的转化思想。

四、拓展应用

正、余弦定理不仅在高考数学中有着重要的地位，还在其他学科和实际问题中有着广泛的应用。例如，在物理学中的力学、电磁学等领域，以及在实际工程问题中，如建筑设计、测量等，正、余弦定理都发挥着重要的作用。因此，掌握这两个定理有助于学生更好地理解和应用数学知识解决实际问题。

以下是相关练习题目（有需要请收藏）

为什么要学习正弦定理和余弦定理？

正弦定理和余弦定理是我们在高中数学学习中遇到的一组非常重要的定理，它们揭示了三角形的边角关系，将两者搭配使用能解决很多（斜）三角形问题.

你或许曾疑惑为什么要学习这两个定理，难道仅仅是为了解题吗？不！实际上，这两个定理有着非常美妙的应用，非常可惜的是，我们刷了很多题，却忽视了其背后蕴含的数学之美.

今天，小编就和大家来聊一聊为什么我们要学习正弦定理和余弦定理.

1 正弦定理和余弦定理

首先，我们来回顾一下什么是正弦定理和余弦定理：

正弦定理在中，若角ABC所对边的边长分别为abc，则有

余弦定理在中，若角所对边的边长分别为，则有

利用正、余弦定理，我们可以解决大量的实际问题.

2 正、余弦定理与神秘的流星

流星是一种天文现象，这几乎是每个现代人都熟知的事实，但是当我们穿越历史的迷雾，就会发现人类对于流星的认知并非是从一开始就清晰明了的.

人们曾一度猜测，天空中划过的流星是一种地球的蒸发物，亦或是地球上的磷火升空后的燃烧现象.直到18~19世纪之交，德国天文学家本森伯格和布兰德斯采用三角学方法精彩地论证了流星实际上是“天外来客”.

如图，设有两个观测者在地球上的两个观测点，他们对同一颗流星进行观测，其中AB=500km，由地球半径可得

因此

已知两个观测者的仰角分别为

则

由正弦定理得

可算出

再由余弦定理可得

也就是说，流星距离地表的高度约为

然而，科学发现云层的高度不超过，因此我们可以断定，流星不可能是地球上的某种蒸发物，它一定是天外来客！可见，正是正弦定理和余弦定理帮助人类迈出了正确认知这种神秘天文现象的第一步.

3 正、余弦定理与测量问题

正、余弦定理在数学史中与测高、测距等实际问题紧密相关.17世纪以后，随着三角学的发展，人们更多地运用三角学来解决诸多测量问题.特别是到18世纪初，法国数学家马雷（1630—1706）在其著作《实用几何学》中讨论了几类经典的三角学应用问题.

问题Ⅰ：如图，如何测量海岛上某建筑物的高度？

一方面，这个问题的困难之处在于无法测量出观测点到建筑物底部的距离，但是另一方面，借助当时已经发明出来的测角仪，我们可以测量出两个观测点与建筑物底部、建筑物顶部之间产生的各种角度，并且两个陆地观测点之间的距离也是可以知道的.

对此我们可以抽象出如下数学模型：

已知以及角1234以及 CD，求AB.

解答：在中，由正弦定理：

所以

同理，在中，由正弦定理可得：

计算出和后，在中利用余弦定理可得：

这样测高问题就迎刃而解了.

相对应的，有测高问题就有测距问题.

问题Ⅱ：如图，如何测量某两个海岛建筑物之间的距离？

实际上，有了问题Ⅰ的铺垫，我们就可以比较轻松地理解并解决问题Ⅱ了，将其抽象为如下模型：

仿照上述测高问题的解决方法，我们只要分别在和中使用两次正弦定理算出和，然后在中运用余弦定理算出即可.

可见，测高问题和测距问题贯穿了整个三角学的发展历程.实际上，三角学在测量领域的重要影响从其英文名“Trigonometry”就可见一斑：这个单词最早是由德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus,1561~1613）于1595年首创，由希腊文“trigono”（三角）和“metrein”（测量）组合而成，其原意便是三角学的测量.各种测量问题是三角学要研究的基本问题，而后来三角学的涵义越来越丰富，逐渐成为研究三角函数及其应用的一个数学分支.

4 正、余弦定理与平面几何

有些初等几何问题用纯几何的方法求解往往比较困难，但是当我们借助正、余弦定理，则问题就可以得到简化.例如，古希腊数学家海伦在其著作《测量学》一书中提出了著名的“海伦公式”：

已知三边，记称为半周长，则三角形面积为

这个优美的公式有一个漂亮的几何论证方法，这里不再赘述.实际上，我们也可以通过正、余弦定理来对其进行推导：

已知两边及其夹角,我们有

则

由于余弦定理，可得

所以

值得一提的是，这个公式被称为“三斜求积术”，由我国南宋著名数学家秦九韶发现，将其进一步变形就可得到海伦公式，两者是等价的.

对上述公式进一步处理，得到

令，则有

[1]汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].科学出版社,2017.[2]汪晓勤,沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、实践与案例[M].华东师范大学出版社,2020.

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来源：大小吴的数学课堂

编辑：just_iu

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