数学三角函数正弦、余弦、正割、余割、正切、余切的概念深入解读

进入高中后,同学们都要开始学习三角函数的知识了。

三角函数总共分为六个:

  • 正弦(sin)、余弦(cos);
  • 正切(tan)、余切(cot);
  • 正割(sec)、余割(cosec)。

很多学生学完后的感觉就是一个字——绕。

这六个三角函数的彼此关系确实太绕了。今天【十次老师】就为大家深扒一下它们。

正角和余角

  1. 正和余的命名原则:在单位圆中,角AOB为正角;角BOE为余角。这两个角互余。劣弧AB为正角AOB所对的弧,我们称为正弧,同理余角BOE所对的弧为余弧。
  2. 弦、切、割的命名原则:
    • 弦的理解连接两个定点线段

弦的理解

    • 切的理解沿着边缘切
    • 割线的理解割开分割的含义

正弦+正切+正割

余弦+余割+余切

由这几个长度可以分别构造出两个三角形,我称呼他们为正角三角形和余角三角形。如图:

正角三角形和余角三角形

这个两个三角形彼此相似。

半径(1):余切 =正切:半径(1)【正切余切互为倒数】

正切的平方+半径(1)的平方 = 正割的平方

余切的平方+半径(1)的平方 = 余割的平方

三角函数大一统图

本文图形采用GeoGebra绘制

编写不宜,希望各位看官们,随手点个赞。

《类题通法》5.4.1:正弦函数、余弦函数的图象

一、用“五点(画图)法”作正弦曲线的一般步骤

(1)先描出(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,0)这五个点;

(2)把这五个点用一条光滑的曲线连接起来,就得到y=sinx在[0,2π]上的简图;

(3)通过左、右平移(每次平移2π个单位长度)即得到正弦函数y=sinx(x属于R)的图象。

二、用\”五点(画图)法\”作余弦曲线的一般步骤

(1)先描出(0,1),(π/2,0),(π,-1),(3π/2,0),(2π,1)这五个点;

(2)把这五个点用一条光滑的曲线连接起来,就得到了y=cosx在[0,2π]上的简图;

(3)通过左、右平移(每次平移2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx(x属于R)的图象。

三、画正、余弦函数图象的方法

(1)“五点法”是画正、余弦函数图象的常用方法,取点时注意根据给定区间取最值点及与x轴的交点;

(2)利用“平移”“对称”“翻折”等图象的变换方法画图象也是常用的画图方法。

四、图象法解决的问题主要包含:

(1)利用三角函数的图象求定义域,解不等式:

(2)求方程实根个数或函数零点的个数;

(3)已知含参方程实根的个数,求参数的取值范围。

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