正割函数积分【正割函数积分的求解过程】 收藏 0

超复杂的不定积分问题，老黄怕你看了会头晕，先提个醒

当m,n都是大于1的正整数时，正割的m次方乘正弦的n次方的不定积分，或余弦的m次方乘余割的n次方的不定积分怎么求？

这是一个很复杂的问题，需要分很多种情况来讨论。当m和n相差一个偶数时，问题相对会比较简单一点。我们可以利用余弦的m次方乘正弦的n次方的不定积分递推公式来解决这种情况下的问题。

其实正割的m次方，就是余弦的-m次方，而余割的n次方，就是正弦的-n次方。运用上面的公式就可以推出最后的公式。

公式具体的推导过程，在《老黄学高数》系列学习视频第278讲中有介绍，就不再赘述。这里要探究的是当m,n相差一个奇数时的公式。它的情况要比相差一个偶数时复杂四倍以上。因此，这篇文章只介绍其中当m>n时，正割的m次方乘正弦的n次方的不定积分公式的推导。

就算这样，也还要分n的奇偶性两种情况，当n=2k<m时，我们可以利用正弦的降幂递推公式，一直把正弦的指数降到等于0，就得到一个含有正割正整数幂的不定积分的式子，这个不定积分在《老黄学高数》第268讲和第275讲都有详细的推导。而其它各项可以概括进一个求和公式中。关键的问题是要把各项的系数理清楚，这是一个很有技术含量的活。推导过程和公式都只能以图片的形式展示如下：

尝试解一道例题：例1：求∫(secx)^7(sinx)^4dx.

本文中所有例题的结果老黄都已经检验过了。你也可以检验一下，挺能锻炼这方面的计算能力的。这里有一种特殊的情况，当m-n=1时，公式需要进行适当的调整。关键是当m-n=1时，分子中的因式m-n-2=-1, 而(-1)!!在这里是没有意义的。其实(m-n-2)!!的存在是为了约掉(m-2)!!中小于(m-n)的因数，而当m-n=1时，并不存在这样的因数，所以要去掉(m-n-2)!!.

再来一道例题：例2：求∫(secx)^5*(sinx)^4dx.

而当n=2k+1<m时，并无法通过降幂把正弦的指数降为0，只能降到1，得到(secx)^m*sinx的不定积分相关的式子。这个不定积分的原函数是(secx)^(m-1)x/(m-1). 因此直接代进公式中就可以了，其余部分与上一种情况几乎没有任何差别。

继续看例3：求∫(secx)^6*(sinx)^3dx.

同样的，这种情况下也有一个特例，就是当m-n=1时，分子中也不会出现因式(m-n-2)!!.

最后一道例题：例4：求∫(secx)^6*(sinx)^5dx.

将公式总结如下：

下一次，老黄再和大家分享n>m的情形要怎么推导公式。肯定有人会吐槽老黄为什么要把情况分得这么细，是自找麻烦。那是因为如果不分得这么细的话，会出现阶乘中从正数乘到负数的情况，很难确定具体的阶乘。而且很容易出现分母为0没有意义的情况。而且公式明明就不同，自然几乎不可能统一推导了。假如强行统一，理论上也不是做不到。就是会比老黄分情况讨论烦得多得多得多。如果你能做到，老黄要对你顶礼膜拜。

不管怎么样？老黄会佩服你探究的精神。如果学数学能够有这样的探究精神，又何愁数学学不好呢！关键是要去探究哦，千万不要仅凭一张嘴！

三角函数是如此重要，微积分十六个简单导数里它占了十个之多

在数学、物理学和工程力学等诸多领域，矢量是很一个重要的概念。简单的去理解它，就是带方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力学领域，两个不方向的量，其性质可能会有本质的区别。比如下图：

这是一个对曲杆进行内力分析的微分单元。

在这个微分单元的左侧，对于轴力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2构成剪切力的合力；而剪切力Q也一样，其在轴向上的分矢量Q*sin θ/2，和轴力N的分矢量N*cos θ/2构成轴力的合力。

在这个微分单元的右侧，是对左侧进行一个微增量后的结果。比如，轴力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲杆的微弧长dl。对于dN，仍然要进行矢量分割，dN*sin θ/2计入剪切力，dN*cos θ/2计入轴力。最终求积的微分中一定会有这样的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。

从某种意义上说，微积分本身就是应曲线研究而生的。曲线微增量dl是无法取值的，只能转换成dl=rdθ，再换算成X轴和Y轴的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。这使得我们在用微分积解决问题时，非常大的概率会遇到三角函数求导数或求积分。

可以说，三角函数是微积分中最重要的基本函数，在十六个简单导数中它占了十个之多。

既然明确了三角函数的重要性，那我们不妨进一步了解一下这十个简单导数的求导过程。

1、正弦函数y=sin x;

(sin x)\’=lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h

=lim(h→0)[2cos (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)cos (x+h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=cos x

2、余弦函数y=cos x;

(cos x)\’=lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h

=lim(h→0)[-2sin (x+h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)[-sin (x+h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=-sin x

3、正切函数y=tg x;

(tg x)\’=(sin x/cos x)\’

=[(sin x)\’*cos x-sin x*(cos x)\’]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

4、余切函数y=ctg x;

(ctg x)\’=(cos x/sin x)\’

=[(cos x)\’*sin x-cos x*(sin x)\’]/sin^2 x

=-(sin^2 x+cos^2 x)/sin^2 x

=-1/sin^2 x

=-csc^2 x

5、正割函数y=sec x;

(sec x)\’=1/cos x

=[(1)\’*cos x-1*(cos x)\’]/cos^2 x

=sin x/cos^2 x

=sec x*tg x

6、余割函数y=csc x;

(csc x)\’=1/sin x

=[(1)\’*sin x-1*(sin x)\’]/sin^2 x

=-cos x/sin^2 x

=-csc x*ctg x

7、反正弦函数y=arc sin x;

因为y=arc sin x是x=sin y的反函数，所以有，(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=1/√(1-x^2)。

8、反余弦函数y=arc cos x;

因为y=arc cos x是x=cos y的反函数，所以有，(arc cos x)\’=1/(cos y)\’=-1/sin y。接下来，我们把sin y转换成余弦cos y，并进一步转换成x。

因为，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=-1/√(1-x^2)。

9、反正切函数y=arc tg x;

因为y=arc tg x是x=tg y的反函数，所以有，(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把sec y转换成余弦tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y，所以有，(arc tg x)\’=1/√(1+x^2)。

10、反余切函数y=arc ctg x;

因为y=arc ctg x是x=ctg y的反函数，所以有，(arc ctg x)\’=1/(ctg y)\’=-1/cec^2 y。接下来，我们把cec y转换成余弦ctg y，并进一步转换成x。

因为，cec^2 y=1+ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)\’=-1/(1+x^2)。

有这十个三角函数的导数做基础，再也不用担心曲线分析了。

从危机中找到高数的探究方法，正割或余割正整数幂的不定积分公式

上次老黄在高数探究中遇到了一个危机。就是老黄自己推出来的正弦或余弦的正整数幂公式，和教材所给的递推公式，看不出有紧密的联系。因此老黄怀着忐忑的心情，把教材的递推公式推导出最终的公式形式，证明教材的递推公式与老黄自己推导的公式是一致的。这方面的内容可以在《老黄学高数》系列视频第267讲中找到详细的介绍。

同时这也给了老黄一点启发。教材中还有正割或余割的递推公式，老黄何不把它们的最终公式形态也推导出来。一可以熟练求积分的各种方法，二求出来的公式，以后也可以直接拿来运用，一举两得。这其实就是学习的一种方法，不仅高数适合，基础数学和其它学科也都是适合的。

说干就干，老黄先推导正割的正整数幂积分公式，看看结果是怎么样的。这里包含了两步，第一步是推出教材的递推公式。因为教材只给了一个公式，并没有教老黄怎么推出这个公式。第二步再在递推公式的基础上，推导出最终公式。

探究1：求In=∫(secx)^ndx，n>2.

推导过程用文字描述相当麻烦，老黄直接上图，希望你能够看得明白。如果有任何不明白的地方，欢迎回复提问。

公式需要分类讨论，即当n是奇数时，以及当n是偶数时两种情况。它们的公式形式看起来非常相似，只有首项的ln|secx+tanx|和tan的区别，以及求和公式的上标m和m-1的区别。但其实代入具体的指数n时，两个公式还是有不小的差别的。

注意，当n=1时，公式(1)剩下前面第一项，就是∫secxdx=ln|secx+tanx|+C. 当n=2时, ∫(secx)^2dx=tanx，也是公式(2)前面的第一项，都是各自的特例。

利用这个公式，来做两道例题，例1是求正割5次方的不定积分：

例1：求∫(secx)^5dx.

例2是求正割6次方的不定积分：

例2：求∫(secx)^6dx.

结果老黄都已经检验过了。检验过程还是相当解压的。因为你无法想象，要保证公式正确，是一个多么烧脑的探究过程。

下面再探究余割的正整数次幂的积分公式。就不重复上面极其麻烦的过程了，而是利用公式：sec(x+π/2)=-cscx. 把它转化成正割的正整数次幂问题。不过由于中间步骤比较繁琐，直接被老黄略去了。涉及的知识比较基础，你可以自行完成的。

探究2：求∫(cscx)^ndx，n>2.

可以看到所得公式与公式(1)(2)只有两处不同，一是各项符号相反，二是所有secx变成了cscx，而所有tanx也变成了cotx. 其它是完全一样的。

再来两道例题。例3是求余割的四次方的不定积分。

例3：求∫(cscx)^4dx.

例4是求余割的三次方的不定积分。

例4：求∫(cscx)^3dx.

如果你觉得老黄取的指数太小，造成巧合，那么你可以自己取一些大一点的数，仔细检验一下，不要自己出错就可以了。

最后还是一道练习：

练习：求∫((secx)^21+(cscx)^22)dx.

两个求和公式可以进行合并，但是继续化简将会非常麻烦，所以就以这样的形式做答案就好了。公式是不需要记在脑海里的，记在计算机上就可以了，如果有需要，找程序员编一个程序，只要输入参数，想要求正割或余割的任意正整数次幂，不论指数有多大，计算机都会直接得到结果的。

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