正割函数的不定积分、正割函数的不定积分公式表 收藏 0

从危机中找到高数的探究方法，正割或余割正整数幂的不定积分公式

上次老黄在高数探究中遇到了一个危机。就是老黄自己推出来的正弦或余弦的正整数幂公式，和教材所给的递推公式，看不出有紧密的联系。因此老黄怀着忐忑的心情，把教材的递推公式推导出最终的公式形式，证明教材的递推公式与老黄自己推导的公式是一致的。这方面的内容可以在《老黄学高数》系列视频第267讲中找到详细的介绍。

同时这也给了老黄一点启发。教材中还有正割或余割的递推公式，老黄何不把它们的最终公式形态也推导出来。一可以熟练求积分的各种方法，二求出来的公式，以后也可以直接拿来运用，一举两得。这其实就是学习的一种方法，不仅高数适合，基础数学和其它学科也都是适合的。

说干就干，老黄先推导正割的正整数幂积分公式，看看结果是怎么样的。这里包含了两步，第一步是推出教材的递推公式。因为教材只给了一个公式，并没有教老黄怎么推出这个公式。第二步再在递推公式的基础上，推导出最终公式。

探究1：求In=∫(secx)^ndx，n>2.

推导过程用文字描述相当麻烦，老黄直接上图，希望你能够看得明白。如果有任何不明白的地方，欢迎回复提问。

公式需要分类讨论，即当n是奇数时，以及当n是偶数时两种情况。它们的公式形式看起来非常相似，只有首项的ln|secx+tanx|和tan的区别，以及求和公式的上标m和m-1的区别。但其实代入具体的指数n时，两个公式还是有不小的差别的。

注意，当n=1时，公式(1)剩下前面第一项，就是∫secxdx=ln|secx+tanx|+C. 当n=2时, ∫(secx)^2dx=tanx，也是公式(2)前面的第一项，都是各自的特例。

利用这个公式，来做两道例题，例1是求正割5次方的不定积分：

例1：求∫(secx)^5dx.

例2是求正割6次方的不定积分：

例2：求∫(secx)^6dx.

结果老黄都已经检验过了。检验过程还是相当解压的。因为你无法想象，要保证公式正确，是一个多么烧脑的探究过程。

下面再探究余割的正整数次幂的积分公式。就不重复上面极其麻烦的过程了，而是利用公式：sec(x+π/2)=-cscx. 把它转化成正割的正整数次幂问题。不过由于中间步骤比较繁琐，直接被老黄略去了。涉及的知识比较基础，你可以自行完成的。

探究2：求∫(cscx)^ndx，n>2.

可以看到所得公式与公式(1)(2)只有两处不同，一是各项符号相反，二是所有secx变成了cscx，而所有tanx也变成了cotx. 其它是完全一样的。

再来两道例题。例3是求余割的四次方的不定积分。

例3：求∫(cscx)^4dx.

例4是求余割的三次方的不定积分。

例4：求∫(cscx)^3dx.

如果你觉得老黄取的指数太小，造成巧合，那么你可以自己取一些大一点的数，仔细检验一下，不要自己出错就可以了。

最后还是一道练习：

练习：求∫((secx)^21+(cscx)^22)dx.

两个求和公式可以进行合并，但是继续化简将会非常麻烦，所以就以这样的形式做答案就好了。公式是不需要记在脑海里的，记在计算机上就可以了，如果有需要，找程序员编一个程序，只要输入参数，想要求正割或余割的任意正整数次幂，不论指数有多大，计算机都会直接得到结果的。

推导不定积分公式时，遇到一件遗憾的事情

老黄已经推导了很多不定积分公式了，可以写成一篇长篇论文了。这次要推导的是“以e为底的指数函数乘余弦幂的不定积分”递推公式。它的公式最终形态，老黄已经推出来，并在前几篇作品中分享了。之所以反过来推导它的递推公式，目的是推向正割余割相关的公式，结果令人感到遗憾。

前面老黄已经推导了“以e为底的指数函数乘正弦幂的不定积分”递推公式，因此推导余弦相关的递推公式是非常简单的。两者的方法步骤以及结果都极其相似。

探究：Jn(a,b)=∫e^(ax)*(cosbx)^ndx的递推公式.

最后还得到了当a=b=1时，递推公式的特殊形式。本来用这个公式，可以递推出最终的公式形式。不过老黄已经直接由正弦相关的公式推出了余弦相关的公式。所以老黄想用它推导的是关于正割的公式。

先比较一下正弦相关和余弦相关的公式，可以发现，两者的形式极其相似。

这两组公式也是很有用的，比如可以用它们来解下面的这个不定积分。

例：求∫e^x*((sinx)^4+(cosx)^4)dx.

至少有三种解法。可以分别运用正弦相关和余弦相关的公式的最终形式。也可以分别应用递推公式。还可以将被积函数变形，再运用不定积分公式。老黄选择后两种方法。

其中有一些要注意的，包括：I2+J2=e^x+C；和(sinx)^4+(cosx)^4=1-1/2* (sin2x)^2.

想要推广到正割或余割相关的公式，就要推出升幂的递推公式。因为正割余割的正整数幂，其实就是余弦正弦的负整数幂。

但是得到的公式中，分母有因式(n+1)(n+2)，这说明指数n=-2,n=-1都无法继续递推。从而无法将正割或余割相关的不定积分转化成余弦或正弦相关的不定积分，此路不通！

不过有递推公式的存在，仍可以把指数的绝对值递推降到n=-2,n=-1的情形。但e^x*secx或e^x*cscx，以及e^x*(secx)^2或e^x*(cscx)^2的不定积分，均无法用一般的方法直接求出来。

类似的，∫e^x*tandx和∫e^x*cotxdx也都无法用老黄目前已经分享的知识求出来。因此老黄只好把这些不定积分的公式押后。等到分享到相关知识之后，再与大家分享。至于它们的递推公式，倒是可以推导出来的。

不知道你能不能解决这几个不定积分呢？

聪明人看不懂！老黄笨脑子想出的三组复杂公式，在数学中孤独前行

下面这道高等数学不定积分，老黄要用三种方法，就是用三个公式来解决它。它是正割八次方，余割四次方，幂积的不定积分。

求∫(secx)^8*(cscx)^4dx.

事实上一般的方法是有的，只是老黄太笨，用不了。才怪！老黄是要卖膏药，推荐自个的笨脑子想出来的三组不定积分公式。一个比一个复杂得离谱。聪明人是看不懂的。不信看完说说你的看法。

如上图，解法一运用的是“正割余割幂积在两个指数中，有一个是偶数时的不定积分公式”。这组公式有两个，分别是正割偶指或余割偶指两种情况。由于这两个指数都是偶数，所以其实一种解法也有两种选择。老黄这里选择按正割升幂，余割降到0次幂的公式。反之也是行得通的。

看不懂是吧？看不懂就对了。证明你是一个聪明人。在《老黄学高数》系列学习视频第282讲，有这组公式的推导。

如上图，解法二运用的是“正割余割幂积在两个指数偶差的不定积分公式”。原理是将指数较大的降幂到两个指数相等，转化成二倍角余割幂的不定积分来求。这个方法在《老黄学高数》系列学习视频第283讲有推导。而余割幂的不定积分公式则在第268讲和第275讲。解法二求得的结果，显然要比解法一简洁很多。

最后是解法三：

如上图，如果说前两种解法的公式都是老黄经过冥思苦想出来的话，那么这最后一个公式，则是老黄埋头憋出来的。也就是说老黄根本没有仔细推导，直接从余割幂的不定积分公式就憋出了这么一个新的公式。不过《老黄学高数》268讲中关于余割幂的不定积分公式的推导方法，和这个公式是没有关系的。只有第275讲的推导方法，才和这个公式有关联。

因为第275讲是通过对余割降到二次幂得到的公式的，相对于奇指数，则是降到一次幂。而解法三的这个公式，则直接降到0次幂(只能偶指数有效)，就得到正割的幂的不定积分。因此，用的是余割的不定积分公式的推导方法，得到的却是正割的幂的不定积分。人要是不笨到一定程度，是很难想明白这样的问题的。因为脑子空空的，没东西烧了，所以才能想明白。聪明人脑子太复杂，会烧坏的。

老黄的文字，是老黄内心的纠结和混乱的体现，有哪些话说得让你不爽的，给你道声歉。老黄在数学中独行，很孤独，你的谩骂对老黄来说，是一种奖赏！

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