正割函数定义,区间函数 收藏 0

深入剖析三角函数定义，领略数学之美

不好意思大伙，一直忙没时间更新，这段时间我继续给大家讲讲机械设计手册哈

接下来是讲几何

一、在直角三角形中，三角函数的定义如下：

①、正弦函数（sin）

1. 定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。 -即sin A=a/c，其中A是一个锐角，a是A的对边，c是斜边。

2. 特点： – 取值范围在-1~1之间。 当角度A在0°到90°之间变化时，sin A的值随着角度的增大而增大。

②、余弦函数（cos）

1. 定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比值。 – 即cos A=b/c，其中A是一个锐角，b是A的邻边，c是斜边。

2. 特点： – 取值范围在-1~1之间。 当角度A在0°到90°之间变化时，cos A的值随着角度的增大而减小。

③、正切函数（tan）

1. 定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。- 即tan A=a/b，其中A是一个锐角，a是A的对边，b是A的邻边。

2. 特点： 正切函数的值域为全体实数。 当角度A在0°到90°之间变化时，tan A的值随着角度的增大而增大。

在单位圆中，三角函数也有相应的定义： 设角a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则：

①、正弦函数（sin）

1. 定义：sina= y。

2. 说明：角a的终边绕原点旋转，点P的纵坐标y的值就是sina的值。

②、余弦函数（cos）

1. 定义：cosa = x。

2. 说明：角a的终边绕原点旋转，点P的横坐标x的值就是cosa的值。

③、正切函数（tan）

1. 定义：tana=y/x(x≠0)。

2. 说明：当角a的终边不在y轴上时，tana的值为点P的纵坐标y与横坐标x的比值。

给大家附上这张图就明白了，所谓余切，正割，余割，就是正弦，余弦，正切的倒数，

二、余切，正割，余割

1. 余切函数（cot）： – 定义：在直角三角形中，一个锐角的余切值等于这个角的邻边与对边的比值。即\\cot A=b/a，其中A是一个锐角，a是A的对边，b是A的邻边。

– 特点：余切函数的值域为全体实数。当角度A在0°到90°之间变化时，cot A的值随着角度的增大而减小。

2. 正割函数（sec）： – 定义：在直角三角形中，一个锐角的正割值等于斜边与这个角的邻边的比值。即sec A=c/b，其中A是一个锐角，b是A的邻边，c是斜边。

– 特点：正割函数的值域取值范围在-1~1之间。当角度A在0°到90°之间变化时，sec A的值随着角度的增大而增大。

3. 余割函数（csc）： – 定义：在直角三角形中，一个锐角的余割值等于斜边与这个角的对边的比值。即csc A=c/a，其中A是一个锐角，a是A的对边，c是斜边。

– 特点：余割函数的值域取值范围在-1~1之间。当角度A在0°到90°之间变化时，csc A的值随着角度的增大而减小。

三、任意角三角函数诱导公式

任意角三角函数诱导公式如下：

公式一、1. 对于任意角a，有sin(a + 2kπ)=sina；cos(a + 2kπ)=cosa)；tan(a +2kπ）=tana，其中k∈Z。 2. 说明：终边相同的角的同一三角函数值相等。

公式二、1. sin(a + π)=-sina；cos(a + π)=-cosa；tan(a + π)=tana。 2. 说明：a + π与a的终边关于原点对称。

公式三、 1. sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana。 2. 说明：-a与a的终边关于x轴对称。

公式四、 1. sin(π-a )=sina；cos(π-a)=-cosa；tanπ-a)=-tana。 2. 说明：π-a与a的终边关于y轴对称。

公式五、 1. sin(π/2-a )=cosa；cos(π/2-a )=sina。 2. 说明：π/2-a与a的终边关于直线y = x对称。

公式六、 1.sin(π/2+a )=cosa；cos(π/2+a )=-sina。 2. 说明：π/2+a与π/2-a的终边关于y轴对称。

先消化下，明天讲讲三角函数的公式哈

三角函数定义及诱导公式

友情提示：本文有点长，将近3000字，分成了两部分发出来。

三角函数是中学数学学习的重点、难点之一。有同学数学学习本来还不错，但从三角函数开始情况变得不再乐观，学习开始发懵，感觉到数学学习力不从心，学习成绩明显下滑：要么概念不能熟练掌握、不好理解；要么觉得公式太多，没办法背熟、记全；要么三角函数特殊角的数值大小、正负记不牢，容易混淆。因而，三角函数成为中学数学学习上的拦路虎，甚至成为部分学生的噩梦。

下面，以平面直角坐标系作为基础，从基本概念开始介绍，希望能够降低三角函数的学习难度，帮助大家更快更好地掌握三角函数。

一、 准备知识

1、 平面直角坐标系

如图1所示，建立平面直角坐标系xOy，坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分，分别称做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。

图1 平面直角坐标系

2、 角度正、负规定

以平面直角坐标系原点O为圆心，做半径为r的圆，半径OA与x轴的夹角记为α，如图2所示。

α角大小的变化，可以看做是A点以r为半径绕原点O转动所致，A点转动的起始位置在x轴上。

图2

规定：从x轴指向半径OA，逆时针时α角为正值，顺时针时α角为负值。

如图3所示，α=45度或者-315度；

图3

如图4所示，α=180度或者-180度。

图4

3、 角度单位：弧度（rad）

大家都知道，角度的常用单位是度，转一圈是360度，平角是180度，直角是90度。

俗话说入乡随俗，到哪道山唱什么歌。在数学、物理等学科，角度的单位一般不再用度，而是用弧度。弧度的英文词汇是radian，缩写成rad，不过人们习惯弧度的单位省略不写。

（1）弧度的定义：弧度制指对于一个圆，用弧长l与半径r之比来度量对应圆心角α角度的方式，如图5所示。

图5

（2）弧度与度的换算

根据弧度定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度；一个圆周长是2πr，其圆心角就是2π弧度，简称2π。弧度与度的换算关系如下：

弧度的精髓就在于它是一个与圆半径无关的量，从而大大简化了有关公式及运算。

4、 半径OA的投影

如图6所示，对于锐角α，A点位于第一象限，半径OA在x轴上的的投影为OB，长度记为x；半径OA在y轴上的的投影为OC，长度记为y，则三角形OBA构成直角三角形。

图6

二、 三角函数的基本定义

在直角三角形OBA中，直边x、y及斜边r与角α的基本关系有六种：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，常用的是前三种函数。

这六种函数的定义如下：

1、 正弦函数

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值，称做α角的正弦函数，简称α角的正弦，记作sinα（sin是正弦一词的英语词汇sine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，sinα=0，最小；当α=90度时，y=r，sinα=1，最大；所以sinα的取值范围有：0≤sinα≤1。

2、 余弦函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比值，称做α角的余弦函数，简称α角的余弦，记作cosα（cos是余弦一词的英语词汇cosine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，cosα=1，最大；当α=90度时，x=0，cosα=0，最小；所以cosα的取值范围有：0≤cosα≤1。

3、 正切函数

在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比值，称做α角的正切函数，简称α角的正切，记作tanα或tgα（tan、tg都是正切一词的英语词汇tangent的缩写），即

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，y=0，tanα=0，最小；当α=90度时，x=0，y=r，tanα趋于无穷大，发散；所以tanα的取值范围有：0≤tanα<∞。

4、 余切函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与对边的比值，称做α角的余切函数，简称α角的余切，记作cotα或ctgα（cot、ctg都是余切一词的英语词汇Cotangent的缩写），即

从定义上可以看出，余切是正切的倒数，有

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上也可以看出，当α=0时，x=r，y=0，cotα趋于无穷大，发散；当α=90度时，x=0，y=r，cotα=0，最小；所以cotα的取值范围有：0≤cotα<∞。

5、 正割函数

正割函数是余弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与邻边的比值，记作secα（sec是正割一词的英语词汇Secant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，secα=1，最小；当α=90度时，x=0，secα趋于无穷大，发散；所以cosα的取值范围有：1≤secα<∞。

6、 余割函数

余割函数是正弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与对边的比值，记作cosecα（cosec是正割一词的英语词汇Cosecant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，cosecα趋于无穷大，发散=0；当α=90度时，y=r，cosecα=1，最小；所以cosecα的取值范围有：1≤cosecα<∞。

（待续）

数学三角函数正弦、余弦、正割、余割、正切、余切的概念深入解读

进入高中后，同学们都要开始学习三角函数的知识了。

三角函数总共分为六个：

• 正弦（sin）、余弦（cos）；
• 正切（tan）、余切（cot）；
• 正割（sec）、余割（cosec）。

很多学生学完后的感觉就是一个字——绕。

这六个三角函数的彼此关系确实太绕了。今天【十次老师】就为大家深扒一下它们。

正角和余角

1. 正和余的命名原则：在单位圆中，角AOB为正角；角BOE为余角。这两个角互余。劣弧AB为正角AOB所对的弧，我们称为正弧，同理余角BOE所对的弧为余弧。
2. 弦、切、割的命名原则：

• 弦的理解连接两个定点线段

弦的理解

• 切的理解沿着边缘切

• 割线的理解割开分割的含义

正弦+正切+正割

余弦+余割+余切

由这几个长度可以分别构造出两个三角形，我称呼他们为正角三角形和余角三角形。如图：

正角三角形和余角三角形

这个两个三角形彼此相似。

半径（1）：余切 =正切：半径（1）【正切余切互为倒数】

正切的平方+半径（1）的平方 = 正割的平方

余切的平方+半径（1）的平方 = 余割的平方

三角函数大一统图

本文图形采用GeoGebra绘制

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本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com