正割函数定义域和值域—正割函数定义域和值域是多少 收藏 0

高三数学知识点之三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示．

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{β|β=k*360°+α，k∈Z}

②终边在x轴上的角的集合： {β|β=k*180°，k∈Z}

③终边在y轴上的角的集合：{β|β=k*180°+90°，k∈Z}

④终边在坐标轴上的角的集合： {β|β=k*90°，k∈Z}

⑤终边在y=x轴上的角的集合：{β|β=k*180°+45°，k∈Z}

⑥终边在轴上y=-x轴上的角的集合：{β|β=k*180°-45°，k∈Z}

⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：α=360°k-β

⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系：α=360°k+180°-β

⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：α=180°k+β

⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：α=360°k+β±90°

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°/π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π/180ι≈0.01745（rad）

3、弧长公式：ι=|α|·r. 扇形面积公式：s扇形=1/2lr=1/2|α|·r²

4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则sinα=y/r ； cosα=x/r ；tanα=y/x ； cotα=x/y ；secα=r/y ；. .

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：sinα/cosα=tanα cosα/sinα=cotα

tan²α+cot²α=1 secα·sinα=1 secα·cosα=1

sin²α+cos²α=1 sec²α-tan²α=1 csc²α-cot²α=1

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二

公式组三

公式组四

公式组五

公式组六

（二）角与角之间的互换

公式组一

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαsinβ+sinαcosβ

sin(α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαranβ）

公式组二

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan2α=2tanα/（1-tan²α）

sinα/2=±√cosα/2

cosα/2=±√（1+cosα）/2

tanα/2=±√√（1-cosα）/（1+cosα）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

公式组三

sinα=（2tan²α/2）/（1+tan²α/2）

cosα=（1-tan²α/2）/（1+tan²α/2）

tanα=（2tanα/2）/（1-tan²α/2）

公式组四

sinαcosβ=1/2[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosαsinβ=1/2[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosαsinβ=1/2[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinαsinβ=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos（α-β）/2

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin（α-β）/2

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos(α-β）/2

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin（α-β）/2

公式组五

cos（1/2π-α）=sinα

sin（1/2π-α）=cosα

tan（1/2π-α）=cotα

cos（1/2π+α）=-sinα

tan（1/2π+α）=-cotα

sin（1/2π+α）=cosα

sin15°=cos75°=（√6-√2）/4，sin75°=cos15°=√6+√2）/4，tan15°=cot75°=2-√3，tan75°=cot15°=2+√3

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

注意：①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=f（x）在[a,b]上递增（减），则y=-f（x）在[a.b]上递减（增）.

②y=|sinx|与y=|cosx|的周期是π.

③y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（ω≠0）的周期T=2π/|ω|.

y=|tanx/2|的周期为2π（T=π/|ω|=>T=2π，如图，翻折无效）.

④y=sin（ωx+φ）的对称轴方程是x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心（kπ，0）；y=cos（ωx+φ）的对称轴方程是x=kπ（k∈Z），对称中心（kπ+1/2π，0）；y=tan（ωx+φ）的对称中心（kπ/2,0）.y=cos2x→原点对称→y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤当tanα·tanβ=1，α+β=kπ+π/2（k∈Z）；tanα·tanβ=-1·α-β=kπ+π/2（k∈Z）.

⑥y=cosx与y=sin（x+π/2+2kπ）是同一函数,而是偶函数，则y=（ωx+φ）=sin（ωx+kπ+1/2π）=±cos（ωx）.

⑦函数y=tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x）*，奇函数：f（-x）=-f（x）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ttanx是奇函数，y=tan（x+1/3π）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0∈x的定义域，则f（x）一定有f（0）=0.（0不属于x的定义域，则无此性质）

⑨y=sin|x|不是周期函数；y=|sinx|为周期函数（T=π）；

y=cos|x|是周期函数（如图）；y=|cosx|为周期函数（T=π）；

y=|cos2x+1/2|的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：y=f（x）=5=f（x+k），k∈R .

⑩ y=αcosα+bsinβ=√（a²+b²）*sin（α+β）+cosβ=b/a有√（a²+b²）≧|y|.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T=2π/|ω|，频率f=1/T=|ω|/2π，相位ωx+φ；初相φ（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，（x∈[-π/2，π/2]）的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是[-π/2，π/2]．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，（x∈[-π/2，π/2]）的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是(-π/2，π/2)．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

高三数学补习班：

特别烧脑的第二换元积分法，到底要怎么理解？

换元积分法有两类，前面老黄已经介绍了第一换元积分法，这里要继续分析第二换元积分法。

不论是第一换元积分法，还是第二换元积分法，它都是基于下面这个定理的：

定理：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].

(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C,即

∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.

(第二换元积分法)若φ’(x)≠0, x∈[a,b]，则命题1可逆，即f(x)在[a,b]上存在原函数F(x)时，g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(φ^(-1)(u))+C, 即

∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.

这个定理理解起来相当烧脑。我们通常都是通过练习来理解掌握它的。这里有一个很讨厌的问题 ，就算你理解掌握了第一换元法，却依然很难理解第二换元法。甚至当你通过例题和练习，把第二换元法掌握起来了，回过头来再理解这个定理，依然会觉得云里雾里，不知所云。你知道这是为什么吗？

其实运用时和定理中的x和u是互换的。就是你把定理中关于第二换元法部分的“x”和\”u\”全部对调过来，应该就会明白了。方法老黄已经告诉你了，理解主要还是内在的东西，老黄就帮不了你了。下面我们先来证明这个定理的第二换元法部分。

证：若φ’(x)≠0, x∈[a,b]，则x=φ^(-1)(u)，且dx/du=1/(φ\'(x)), 【如果内函数的导数非0，那么它的反函数就可导，而反函数的导数是原函数导数的倒数】

dF(φ^(-1)(u))/du=f(x)/(φ′(x))=(g(φ(x))φ′(x))/(φ′(x))=g(φ(x))=g(u).

∴∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.【将u=φ(x)代入就有这个过程和结果】

不论如何，还是通过例题来学习更好理解。

例：求∫√(a^2-x^2 )dx (a>0).

它其实也是一个积分公式，限定a>0，主要是为了避免负数带来的麻烦，而如果a=0，问题本质就发生改变了。通过观察，可以发现，这个根式中，底数如果可以通过换元，利用1-(sinx)^2=(cosx)^2，就会简便得多。说干就干！

解：令x=asinu, |u|≤π/2, 【这个取值范围有两点作用，一是使x单调，因此才会有反函数；二是保证换元函数x的值域，就是原被积函数的定义域。你瞧，这里的x和u是不是和定理中的x,u是互相调换的】

则u=arcsin(x/a), √(a^2-x^2)=acosu, dx=d(asinu)=acosudu. 【做完这些准备工作，可以让下面的过程更加简便】

原积分=a^2*∫(cosu)^2du=a^2/2*(u+sinucosu)+C【余弦平方的不定积分是一个常用的积分公式的，一定要把它记起来，否则手撕很麻烦，得到的结果形式会有不同】

=a^2/2*(u+sinu√(1-(sinu)^2))+C【把结果写成只含有正弦而不含有余弦的形式，这样代入u关于x的表达式时，才可以直接得到关于x的函数】

=a^2/2*(arcsin(x/a) + x/a* √(1-(x/a)^2))+C

=a^2/2*arcsinx/a +x/2 *√(a^2-x^2 )+C.

下面再继续分享一道练习题。是练习题，自然是要你自己完成的了。

练习：求∫dx/√(x^2-a^2 ) (a>0). 【这也是一个积分公式】

解：令x=asect, 0<t<π/2, 则t=arcsec(x/a),

√(x^2-a^2)=atant, dx=d(asect)=asect·tant.

原积分=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1【正割函数的积分公式也要记牢，否则会很难办。这里用C1，是因为后面这个常数还会有其它部分加入】

=ln|sect+√((sect)^2 t-1)|+C1【化为只含有正割函数的形式因为这样替入t的表达式时，可以直接得到关于x的函数】

=ln|x/a+√((x/a)^2-1)|+C1=ln|x/a+1/a*√(x^2-a^2 )|+C1=ln|x+√(x^2-a^2 )|+C.

最后利用了商的对数公式，等于对数的差，而后面的-lna被合并进了C中。

你学会了吗？还不会也不要紧，继续关注老黄的作品，下面还有好几个关于这方面内容，都是帮助大家理解这个知识的作品。

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