高三数学知识点之三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.
(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.
1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{β|β=k*360°+α,k∈Z}
②终边在x轴上的角的集合: {β|β=k*180°,k∈Z}
③终边在y轴上的角的集合:{β|β=k*180°+90°,k∈Z}
④终边在坐标轴上的角的集合: {β|β=k*90°,k∈Z}
⑤终边在y=x轴上的角的集合:{β|β=k*180°+45°,k∈Z}
⑥终边在轴上y=-x轴上的角的集合:{β|β=k*180°-45°,k∈Z}
⑦若角α与角β的终边关于x轴对称,则角α与角β的关系:α=360°k-β
⑧若角α与角β的终边关于y轴对称,则角α与角β的关系:α=360°k+180°-β
⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:α=180°k+β
⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:α=360°k+β±90°
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式: 1rad=180°/π≈57.30°=57°18ˊ. 1°=π/180ι≈0.01745(rad)
3、弧长公式:ι=|α|·r. 扇形面积公式:s扇形=1/2lr=1/2|α|·r²
4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则sinα=y/r ; cosα=x/r ;tanα=y/x ; cotα=x/y ;secα=r/y ;. .
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域:
8、同角三角函数的基本关系式:sinα/cosα=tanα cosα/sinα=cotα
tan²α+cot²α=1 secα·sinα=1 secα·cosα=1
sin²α+cos²α=1 sec²α-tan²α=1 csc²α-cot²α=1
9、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二
公式组三
公式组四
公式组五
公式组六
(二)角与角之间的互换
公式组一
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαsinβ+sinαcosβ
sin(α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαranβ)
公式组二
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan2α=2tanα/(1-tan²α)
sinα/2=±√cosα/2
cosα/2=±√(1+cosα)/2
tanα/2=±√√(1-cosα)/(1+cosα)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
公式组三
sinα=(2tan²α/2)/(1+tan²α/2)
cosα=(1-tan²α/2)/(1+tan²α/2)
tanα=(2tanα/2)/(1-tan²α/2)
公式组四
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos(α-β)/2
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin(α-β)/2
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos(α-β)/2
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin(α-β)/2
公式组五
cos(1/2π-α)=sinα
sin(1/2π-α)=cosα
tan(1/2π-α)=cotα
cos(1/2π+α)=-sinα
tan(1/2π+α)=-cotα
sin(1/2π+α)=cosα
sin15°=cos75°=(√6-√2)/4,sin75°=cos15°=√6+√2)/4,tan15°=cot75°=2-√3,tan75°=cot15°=2+√3
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
注意:①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反;y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地,若y=f(x)在[a,b]上递增(减),则y=-f(x)在[a.b]上递减(增).
②y=|sinx|与y=|cosx|的周期是π.
③y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)(ω≠0)的周期T=2π/|ω|.
y=|tanx/2|的周期为2π(T=π/|ω|=>T=2π,如图,翻折无效).
④y=sin(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ+π/2(k∈Z),对称中心(kπ,0);y=cos(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ(k∈Z),对称中心(kπ+1/2π,0);y=tan(ωx+φ)的对称中心(kπ/2,0).y=cos2x→原点对称→y=-cos(-2x)=-cos2x
⑤当tanα·tanβ=1,α+β=kπ+π/2(k∈Z);tanα·tanβ=-1·α-β=kπ+π/2(k∈Z).
⑥y=cosx与y=sin(x+π/2+2kπ)是同一函数,而是偶函数,则y=(ωx+φ)=sin(ωx+kπ+1/2π)=±cos(ωx).
⑦函数y=tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,y=tanx为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(-x)=f(x)*,奇函数:f(-x)=-f(x)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:ttanx是奇函数,y=tan(x+1/3π)是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若0∈x的定义域,则f(x)一定有f(0)=0.(0不属于x的定义域,则无此性质)
⑨y=sin|x|不是周期函数;y=|sinx|为周期函数(T=π);
y=cos|x|是周期函数(如图);y=|cosx|为周期函数(T=π);
y=|cos2x+1/2|的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:y=f(x)=5=f(x+k),k∈R .
⑩ y=αcosα+bsinβ=√(a²+b²)*sin(α+β)+cosβ=b/a有√(a²+b²)≧|y|.
11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T=2π/|ω|,频率f=1/T=|ω|/2π,相位ωx+φ;初相φ(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数:
函数y=sinx,(x∈[-π/2,π/2])的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是[-π/2,π/2].
函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].
函数y=tanx,(x∈[-π/2,π/2])的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(-π/2,π/2).
函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
高三数学补习班:
特别烧脑的第二换元积分法,到底要怎么理解?
换元积分法有两类,前面老黄已经介绍了第一换元积分法,这里要继续分析第二换元积分法。
不论是第一换元积分法,还是第二换元积分法,它都是基于下面这个定理的:
定理:(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义,u=φ(x)在[a,b]上可导,且α≤φ(x)≤β,x∈[a,b],并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].
(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u),则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x),且F(x)=G(φ(x))+C,即
∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.
(第二换元积分法)若φ’(x)≠0, x∈[a,b],则命题1可逆,即f(x)在[a,b]上存在原函数F(x)时,g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u),且G(u)=F(φ^(-1)(u))+C, 即
∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.
这个定理理解起来相当烧脑。我们通常都是通过练习来理解掌握它的。这里有一个很讨厌的问题 ,就算你理解掌握了第一换元法,却依然很难理解第二换元法。甚至当你通过例题和练习,把第二换元法掌握起来了,回过头来再理解这个定理,依然会觉得云里雾里,不知所云。你知道这是为什么吗?
其实运用时和定理中的x和u是互换的。就是你把定理中关于第二换元法部分的“x”和\”u\”全部对调过来,应该就会明白了。方法老黄已经告诉你了,理解主要还是内在的东西,老黄就帮不了你了。下面我们先来证明这个定理的第二换元法部分。
证:若φ’(x)≠0, x∈[a,b],则x=φ^(-1)(u),且dx/du=1/(φ\'(x)), 【如果内函数的导数非0,那么它的反函数就可导,而反函数的导数是原函数导数的倒数】
dF(φ^(-1)(u))/du=f(x)/(φ′(x))=(g(φ(x))φ′(x))/(φ′(x))=g(φ(x))=g(u).
∴∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.【将u=φ(x)代入就有这个过程和结果】
不论如何,还是通过例题来学习更好理解。
例:求∫√(a^2-x^2 )dx (a>0).
它其实也是一个积分公式,限定a>0,主要是为了避免负数带来的麻烦,而如果a=0,问题本质就发生改变了。通过观察,可以发现,这个根式中,底数如果可以通过换元,利用1-(sinx)^2=(cosx)^2,就会简便得多。说干就干!
解:令x=asinu, |u|≤π/2, 【这个取值范围有两点作用,一是使x单调,因此才会有反函数;二是保证换元函数x的值域,就是原被积函数的定义域。你瞧,这里的x和u是不是和定理中的x,u是互相调换的】
则u=arcsin(x/a), √(a^2-x^2)=acosu, dx=d(asinu)=acosudu. 【做完这些准备工作,可以让下面的过程更加简便】
原积分=a^2*∫(cosu)^2du=a^2/2*(u+sinucosu)+C【余弦平方的不定积分是一个常用的积分公式的,一定要把它记起来,否则手撕很麻烦,得到的结果形式会有不同】
=a^2/2*(u+sinu√(1-(sinu)^2))+C【把结果写成只含有正弦而不含有余弦的形式,这样代入u关于x的表达式时,才可以直接得到关于x的函数】
=a^2/2*(arcsin(x/a) + x/a* √(1-(x/a)^2))+C
=a^2/2*arcsinx/a +x/2 *√(a^2-x^2 )+C.
下面再继续分享一道练习题。是练习题,自然是要你自己完成的了。
练习:求∫dx/√(x^2-a^2 ) (a>0). 【这也是一个积分公式】
解:令x=asect, 0<t<π/2, 则t=arcsec(x/a),
√(x^2-a^2)=atant, dx=d(asect)=asect·tant.
原积分=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1【正割函数的积分公式也要记牢,否则会很难办。这里用C1,是因为后面这个常数还会有其它部分加入】
=ln|sect+√((sect)^2 t-1)|+C1【化为只含有正割函数的形式因为这样替入t的表达式时,可以直接得到关于x的函数】
=ln|x/a+√((x/a)^2-1)|+C1=ln|x/a+1/a*√(x^2-a^2 )|+C1=ln|x+√(x^2-a^2 )|+C.
最后利用了商的对数公式,等于对数的差,而后面的-lna被合并进了C中。
你学会了吗?还不会也不要紧,继续关注老黄的作品,下面还有好几个关于这方面内容,都是帮助大家理解这个知识的作品。
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