概率密度函数的意义—概率密度函数的意义和条件 收藏 0

Excel统计函数——BETA.DIST函数详解（计算Beta分布概率密度）

函数功能

BETA.DIST函数用于返回Beta分布。

函数语法

BETA.DIST(x,alpha,beta,cumulative,[A],[B])

参数解释

x：表示介于A和B之间用来进行函数计算的值。

alpha：表示分布参数。

beta：表示分布参数。

cumulative：表示决定函数形式的逻辑值。如果cumulative为TRUE，BETA.DIST返回累积分布函数；如果为FALSE，则返回概率密度函数。

A：可选。x所属区间的下界。

B：可选。x所属区间的上界。

实例1　返回累积beta分布的概率密度函数值

本例已知数值为8，给定alpha分布参数“3”、bate分布参数“4.5”、下界“1”和上界“10”，利用BETA.DIST函数可以返回累计beta分布的概率密度函数值。

选中D4单元格，在公式编辑栏中输入公式：

=BETA.DIST(A2,B2,C2,TRUE,D2,E2)

按“Enter”键，即可返回函数值“0.986220864”，如图1所示。

图1

公式解析

=BETA.DIST(A2,B2,C2,TRUE,D2,E2)

将A2中的值设为介于下界“1”和上界“10”之间进行函数计算的值。分布参数分别为“3”和“4.5”，逻辑值参数为“TRUE”，即返回累积分布函数。

边缘概率密度函数的简单理解

首先看边缘概率密度的定义：

图1

图2

图3

从定义可以看出，二维分布函数对于自变量来说，是一个范围。

图4

图5

图4图5的边缘分布函数定义表明，首先两个自变量也有一个变化范围，但对于x的边缘分布来说，y的取值则是它的全部定义域，反过来也一样。

图6

图7

图6图7给出了边缘分布函数和边缘密度函数的定义对比，可以清楚地看到，x的边缘分布函数x的取值是一个范围，但x的边缘密度函数中，x的取值则是一个固定的值，这一区别是和概率的分布函数与密度函数的定义完全相符的，因为概率密度函数f(x)指的就是在x固定的情况下，x的这个值的取值频度。

图8

图9

图8图9是由二维分布函数求边缘分布函数的例子。当然，边缘分布函数有了，边缘密度函数就得出来了。

图10

图10是由二维密度函数求边缘密度函数的例子。

注意两者的区别。图8图9中F(x,y)里面的x,y代表的是一个范围，图10中f(x,y)里面的x,y代表的则是一个固定的值。边缘密度fX则表示x固定，y变化。

图11

图12

图13

对于离散型变量来说，其边缘分布率指的是它的边缘密度函数。

下面是一个常用的正态分布的例子。

简单总结一下：

1：二维分布函数两个自变量都是范围。

2：边缘分布函数两个自变量也都是范围，但其中一个范围固定，另一个则是全定义域。

3：边缘密度函数两个自变量其中一个是固定的值，另一个则是全定义域。

概率和概率密度的区别

先看概率和概率密度的定义：

若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成

则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度.

由以上定义可以看出，概率是一个面积，它表示的是某个事件发生的可能性的大小，而概率密度是一个函数值。

对于f(x)来说，它表示的是当x固定的时候，按照函数规则 f(x) 求出来的一个函数值，我们把这个函数称为概率密度。那么，概率密度又表示了一个什么意思呢？

我们先回顾一下均匀分布：

图1

可以看出，概率密度是可以大于1的，而且可以是一个很大的数字，而概率则不可能。

它的分布函数：

也就是说，因为要满足概率小于1的条件，那就必然导致：当概率密度越大的时候，其分布的区间就越小。

我们可以举一个例子：

假设两个队伍比赛投篮球，规定谁先投中十次谁赢。

如果一队每分钟有十个人投篮，二队则是五个人，假设参赛队员的水平都差不多，那我们知道，其结果基本可以肯定是一对会赢，因为一队的投篮频率更高，投中的次数自然更多，概率密度函数的本来意义，就是表示随机试验在对应的x点处出现的频率（f(x)），那么，这个每分钟的投篮频率，我们就可以认为是概率密度函数。也就是说，

概率密度函数可以理解为：单位时间内进行的随机试验的次数。

因为规定了投中十次就算赢，因此，投篮密度越大，需要持续的时间就越短。

还有一点值得注意，那就是对于连续型随机变量来说，其单点概率为0，这很自然，因为数学上的点是没有大小的，因此，对于图1中的积分来说，当积分区间长度为0的时候，其积分结果必然也是0。但是，单点的概率密度并不是0，而是x取某个值的时候的函数值f(x)。

这一点还是可以和投篮的例子相联系：

当我们观察一个时间段里面的投篮人数，当这个时间段非常短的时候，投篮人数必然为0（概率）；但是，已经规定了一分钟内至少要有五人投完一次，这个概率密度却始终存在。

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