概率密度函数怎么求、概率密度函数怎么求分布函数 收藏 0

Excel统计函数——BETA.DIST函数详解（计算Beta分布概率密度）

函数功能

BETA.DIST函数用于返回Beta分布。

函数语法

BETA.DIST(x,alpha,beta,cumulative,[A],[B])

参数解释

x：表示介于A和B之间用来进行函数计算的值。

alpha：表示分布参数。

beta：表示分布参数。

cumulative：表示决定函数形式的逻辑值。如果cumulative为TRUE，BETA.DIST返回累积分布函数；如果为FALSE，则返回概率密度函数。

A：可选。x所属区间的下界。

B：可选。x所属区间的上界。

实例1　返回累积beta分布的概率密度函数值

本例已知数值为8，给定alpha分布参数“3”、bate分布参数“4.5”、下界“1”和上界“10”，利用BETA.DIST函数可以返回累计beta分布的概率密度函数值。

选中D4单元格，在公式编辑栏中输入公式：

=BETA.DIST(A2,B2,C2,TRUE,D2,E2)

按“Enter”键，即可返回函数值“0.986220864”，如图1所示。

图1

公式解析

=BETA.DIST(A2,B2,C2,TRUE,D2,E2)

将A2中的值设为介于下界“1”和上界“10”之间进行函数计算的值。分布参数分别为“3”和“4.5”，逻辑值参数为“TRUE”，即返回累积分布函数。

两个随机问题：概率密度函数的推导与逆变法

[专业笔记]系统建模与仿真-两个随机问题

目录

• 概率论浅谈
• 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导
• 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

正文

*1* 概率论浅谈

翻开概率论的教材，会发现它与其他数学分支如代数、几何、微积分等有很大的不同。它的例题习题来源于现实生活，有鲜明的应用性。而其他数学分支只有少部分内容有应用背景，大部分内容包括例题习题都是抽象的推理，从公式来到公式去。对于后者，不爱动脑筋的同学套公式也能解题，但是对于题目是什么意思能够解决什么实际问题并不清楚。概率论的习题不一样，首先要理解问题，能用数学语言表达出题目的含义，才能解题。

另外，要理解概率的含义是随机的（未知的）变量的取值的可能性。是一个统计特征。按照大数定律，重复试验次数越多，事件发生的次数越接近概率。切不可用一次试验的结果，去反驳说概率不对。可以把概率看作试验开始之前对试验结果的预判。一旦得到结果，就是确定值不再是随机变量，与概率含义完全不搭界。比如，抛硬币正面向上的概率是50%，抛得次数越多，正面向上比例越接近50%。但是抛一次的结果就是正或反。不能因此说概率是100%或0%。概率论是既有趣也容易让人迷糊的学科甚至有些数学教授写的书都错了。广泛流传的三门问题及其答案也是错的。

*2* 问题1：顾客到达间隔时间的概率密度函数推导

考虑一个商店，顾客的到达时间是随机的。采用概率分布来描述，常用的是泊松分布。若采用平稳泊送过程描述，则有：在(t,t+s)内到达的顾客数k的概率为 其中N(t)表示在(0,t)区间内到达顾客的人数，t≥0,s≥0,k=0,1,2,…,λ为到达率。求证：顾客到达的时间间隔服从指数分布，即密度函数为 。其中s是间隔时间。

证：

(*)含义：时间间隔S内无人到达的概率

(1)含义：时间间隔S内有任意多人(≥1)到达的概率（分布函数）

定义f(t)表示两人到达时间间隔为t的概率密度，即时间间隔为t时有人到达的概率密度。

(2)含义：时间间隔S内任意时刻有人到达的概率总和（分布函数）

可见(1)(2)是同一事件的概率，只是分析角度不同：(1)是从到达人数来说，(2)是从到达时刻来说。

因此 , 即

求导得

得证。

*3* 问题2：生成指定分布的随机数的方法-逆变法的证明

在进行离散事件系统仿真研究时，我们需要生成指定分布的随机数。有一种实用的方法-逆变法：

假设指定分布函数为F(x), 则先生成[0,1]均匀分布的随机数集U, 那么 即为分布函数为F(x)的随机数集。其中表示F(•)的反函数。下面我们来证明。

证：

假设U为[0,1]均匀分布的随机数。令。

∵F(x)是分布函数，∴它是单调递增的。因此

得证。

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概率密度到底是个什么东西

概率密度：

若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成

图1

则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。

对 f(x)的进一步理解：

图2

X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长度△x 之比的极限。

如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中的线密度。

图3

图4

从以上分析可以得出结论：

1：概率密度是概率的变化率；

2：概率密度在一个时间段中的积分就可以得出概率。

那么，现实中能不能找到一个具体例子用来理解概率密度这个概念呢？

以打靶为例：

从图4可以看出，分布函数是一个概率，那么，概率密度到底是什么呢？

我们假设，现在有很多人对着同一块靶进行设计，每过一段时间统计射中了多少次，那么，这个随着时间变化的射中的次数就是分布函数F（x）;为了与概率密度函数f（x）相对应，我们假设每个时刻进行射击的人数是随着时间的变化而变化的，从而每个时刻击中靶的次数也是变化的，那么，这个次数就应该相当于概率密度函数f（x）。由此可以看出，一段时间内，总的射中次数,也就是概率F(x)，是和这段时间内每个时刻的射中次数，也就是概率密度函数f（x）有关的。

上面的例子还说明，F（x）本来是用来表示概率的，是一种不确定性事件，但在这个例子里面，它却具有了某种确定性的性质：它会随着时间的增加而增加（对f(t)积分）。比如，经过一段时间以后，F（x）=0.8，那就表示随着一段时间内不同的人数进行射击以后，假设总共射击了1万次，其中射中了8000次。

同时，因为概率密度函数必须满足条件

图5

这就意味着，每个射击者，其射击的命中率不能为0，要不然上图的积分永远也不会为1；而且这个命中率也不是f(x),因为f(x)表示的是某个时刻射中的次数；也不是F（x），因为F（x）表示的是一段时间内所有进行射击的人员总的命中率。因此，我们只能认为，进行射击的每一个人都有一个我们不知道的命中率，而且这个命中率应该相同，因为f(x)只能表示某个时刻所有人变化的射中次数，无法再表示每个人变化的命中率。

从上述分析可以看出，因为每个人的每次射击可以看作是一次随机试验，因此

概率密度函数f（x）似乎可以认为是进行随机试验的次数，这个随机试验是有一个出现目标样本的概率的。

因为概率密度函数是对于连续型随机变量来说的，为了模拟这个实数，我们可以假设那块目标靶位于银河系的中心，所有参加射击的人可以在太空中任何位置站立，以一个相同的命中率对着目标靶进行射击，并且那些人数随时间变化而变化。因为空间的无限性导致人数可以无限，这样大概就相当于连续的实数了。

f(x)能不能认为是同一个人在进行射击，但这个人的命中率是随着时间而变化的，也就是f(x)?从而F(x)表示的是这个人射击了一段时间以后的总的命中率？似乎也是可以的，但我们知道，概率不能大于1，但概率密度可以无穷大（对应积分区间无穷小），而且概率是一个测度，也就是这个命中率 f(x) 是包括有理数和无理数的，但命中率似乎只能是一个有理数。前面例子中的人数似乎也是有理数，但由于空间的无限性，似乎我们可以认为这个人数可以包括无理数，因为某个时刻的人数可能没人算得清。

至于图3中最后一句话是什么意思，本人不理解，欢迎讨论。

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