高中函数导数知识点汇总: 含各个函数的求导公式(建议收藏)
高中函数导数是很重要的一个章节, 这里集中进行了一次性的整理,把知识点统一罗列出来
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求导法则：
- 求函数的增量：Δy = f(x + Δx) – f(x)
- 求平均变化率：平均变化率 = Δy / Δx
- 取极限：f\'(x) = lim(Δx → 0) [Δy / Δx]
运算法则：
- 和导：(u + v)\’ = u\’ + v\’
- 差导：(u – v)\’ = u\’ – v\’
- 积导：(uv)\’ = u\’v + uv\’
- 商导：(u/v)\’ = (u\’v – uv\’) / v^2，其中 v ≠ 0
- 复合函数求导：如果 y = f(u) 且 u = φ(x)，则 y\’ = f\'(u)φ\'(x) 或 dy/dx = d/dx(f(φ(x)))
常用导数：
- y = c (常数函数)，y\’ = 0
- y = x^n (幂函数)，y\’ = nx^(n-1)
- y = a^x (指数函数)，y\’ = a^xln(a)
- y = e^x (自然指数函数)，y\’ = e^x
- y = log_a(x) (对数函数)，y\’ = 1 / (xln(a))
- y = ln(x) (自然对数函数)，y\’ = 1 / x
- y = sin(x) (正弦函数)，y\’ = cos(x)
- y = cos(x) (余弦函数)，y\’ = – sin(x)
- y = tan(x) (正切函数)，y\’ = sec^2(x) 或 1 / cos^2(x)
- y = cot(x) (余切函数)，y\’ = -csc^2(x) 或 -1 / sin^2(x)
请注意，这里的 \”ln\” 表示自然对数，即以 e 为底的对数。同样，\”log_a(x)\” 表示以 a 为底的对数。此外，\”sec(x)\” 表示 x 的余割，而 \”csc(x)\” 表示 x 的正割。
微积分基础：导数（二）
（1）初等函数的导数
- 常数函数：
- 幂函数：
- 指数函数：
- 对数函数：
- 三角函数：
例：定义在ℝ上的函数：
求导的具体步骤：
于是得到：。
（2）导数的四则运算
- 加法规则：
- 乘法规则：
- 除法规则：
- 链式法则（复合函数求导）：
导数的导数称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：
- 二阶导数：
- n 阶导数：
高阶导数在物理学中常用于描述加速度、加加速度等。
- 求切线方程： 函数 f(x) 在点 x = a 处的切线方程为：
- 判断函数的单调性：
如果 f\'(x) > 0 ，则 f(x) 单调递增；
如果 f\'(x) < 0 ，则 f(x) 单调递减。
- 求极值：
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) > 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极小值；
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) < 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极大值。
- 优化问题： 导数可以用于求解最大值和最小值问题，例如在经济学中用于优化利润或成本。
- 求函数的导数：
- 求函数的导数：
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