正切函数的周期 正切函数的周期为什么是兀 收藏 0

高中数学“正切函数”知识点详解

一、引言

正切函数是高中数学中三角函数的重要组成部分，与正弦函数和余弦函数密切相关。了解和掌握正切函数的性质和应用，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。本文将详细解析正切函数的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

二、正切函数的基本定义

1. 定义：正切函数（tangent function）定义为在直角三角形中，锐角的对边长度与邻边长度的比值。当锐角为θ时，正切函数表示为tanθ = 对边/邻边。在任意角的情况下，正切函数可以通过正弦函数和余弦函数的比值进行定义，即tanθ = sinθ/cosθ。需要注意的是，当cosθ=0时，正切函数不存在。
2. 图像：正切函数的图像是一条连续的曲线，称为正切曲线。图像以原点为中心，周期性地向右和向左延伸。在每一个周期内，正切函数的值从负无穷增加到正无穷，然后再从正无穷减少到负无穷。

三、正切函数的性质

1. 定义域和值域：正切函数的定义域是全体实数减去形如π/2 + kπ（k为整数）的角，因为这些角的余弦值为0，使得正切函数不存在。正切函数的值域是全体实数。
2. 周期性：正切函数是周期函数，周期为π。这意味着对于任意的整数k，tan(θ+kπ) = tanθ。因此，在求解正切函数的问题时，可以将角度限制在一个周期内进行研究。
3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。这一性质表明正切函数关于原点对称。
4. 增减性：在每一个周期内，正切函数在(-π/2, π/2)区间内是增函数。这意味着在这个区间内，随着角度的增加，正切函数的值也增加。
5. 最值性：由于正切函数的图像是周期性的，且没有上限或下限，因此它没有最大值或最小值。
6. 与正弦、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在密切的关系。具体来说，tanθ = sinθ/cosθ。这一关系表明，在某些情况下，可以通过正弦函数和余弦函数的性质来推导正切函数的性质。

四、正切函数的应用举例

1. 求解三角形的角度和边长：在三角形中，已知两边和夹角或者已知两角和夹边的情况下，可以利用正切函数的性质求解三角形的其他角度和边长。例如，在直角三角形中，已知一个锐角和对应的邻边和对边长度时，可以利用tanθ = 对边/邻边的关系求解另一个锐角的大小。
2. 物理学中的应用：在物理学中，正切函数常被用来描述某些物理量的变化规律。例如，在力学中，物体的加速度与时间的关系可以用正切函数来表示；在光学中，光线的折射角与入射角的关系也可以用正切函数来描述。
3. 信号处理：在通信和音频处理等领域中，正切函数同样被广泛应用于信号调制、解调和分析等方面。例如，在调制过程中，可以将低频信号转换为高频的正弦波信号进行传输；在解调过程中，再将高频信号还原为低频信号。在这个过程中，正切函数的性质被用来实现信号的幅度调制和频率调制等操作。
4. 工程技术中的应用：在工程技术中，正切函数也常被用来解决一些实际问题。例如，在建筑工程中，利用正切函数可以计算建筑物的倾斜角度；在机械工程中，可以利用正切函数来设计机械零件的传动比等。

五、总结与展望

通过本文的学习，同学们对“正切函数”这一知识点有了更深入的理解。掌握正切函数的性质和应用不仅有助于提高学生的数学素养和解决问题的能力，还为后续的学习和应用奠定了坚实的基础。希望同学们在未来的学习中不断巩固和应用这一知识点，探索更多与之相关的有趣性质和应用实例。同时，也期待教育工作者和研究者们能够不断完善和拓展这一领域的教学内容和方法，为学生提供更加优质的教育资源和指导。通过不断地学习和实践，我们相信同学们一定能够熟练掌握这一知识点，并在实际生活中加以应用。

1987年全国统一高考数学试卷及解答（理工农医类），满分120

1987年的高考数学试卷可以说是历史上非常经典的一份试卷。当时的数学考试采用的还是计算器纸（很可能让现在的学生有些陌生），不过这张试卷给出的题目难度之高是公认的。现在把1987年高考数学试卷及答案分享给大家。

分值分布如下：

第一大题单选题，8个小题，每个3分，共24分；第二大题直接写结果题，7个小题，每个4分，共28分；第三大题解答题10分，第四大题证明题12分，第五大题解答题12分，第六大题解答题12分，第七大题解答题12分；第八大题解答题10分，以上合计120分。附加题，第九大题10分，不计入总分。

开始正题：

本题考查交集及其运算

答案：D

本题考查椭圆的性质及其解析式

答案：C

本题考查基本不等式的概念

答案：B

本题考查空间位置关系，直线与直线的位置关系

答案：A

本题考查二次函数的性质、对数性质等

答案：B

本题考查正弦函数图形的变换、三角函数基本运算等

答案：D

本题考查极坐标方程，二元二次方程等。

答案：B

本题考查正弦函数图形的变换、三角函数基本运算等

答案：D

本题考查正切函数的周期

答案：周期为3π/2

本题考查双曲线方程的标准方程

答案：>-1或<-2

本题考查二项式展开式的系数及解方程

答案：值为n=8

本题考查数列及极限

答案：值为2

本题考查点到直线的距离及函数的最小值，及相关运算

答案：这一点的坐标为（1/2,1）

本题考查排列的应用及数理统计

答案：72个

本题考查棱台的面积及计算

答案：高为√3

本题主要考查三角函数公式和三角公式进行恒等变形的能力及计算。

解题步骤：

本题考查空间直线和平面的位置关系，体积计算等知识运用和推理能力。

解题步骤：

本题考查对数、不等式等知识和运算能力

解题步骤：

本题考查复数知识和运算以及推理能力。

解题步骤：

本题主要考查数列、极限等知识和运算以及推理能力

解题步骤：

本题主要考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题、解决问题的能力

解题步骤：

本题主要考查重要极限的计算和复合函数的导数。属于超纲题目，高等数学知识。

解题步骤：

本套题目，很多高中老师都将之列为较难的高考试卷之一，尤其是后面的几道大题，难度都不小。

什么是周期，如何理解周期？

周期是指一组事件或现象按同样的顺序重复出现，其完成这一组事件或现象的时间或空间间隔。周期是事物在运动、变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间段。周期广泛存在于各个领域，包括数学、物理、生物、经济等。

1. 数学周期：例如正弦交流电完成一次循环变化所用的时间就是周期，用字母表示，单位为秒（s）。
2. 物理周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间就是周期。周期也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，周期长说明物体运动的慢，周期短说明物体运动的快。
3. 生物周期：物体本身自发的或生物被动的活动，从开始到结束称为一个周期。比如地球绕太阳旋转一周的时间就是一年，这是一个典型的生物周期。
4. 经济周期：国民经济运行呈现的一起一落、扩张与收缩不断交替的周期性波动就是经济周期。过去人们将其分为繁荣、衰退、萧条和复苏四个阶段，一般叫做衰退、谷底、扩张和顶峰四个阶段。

理解周期，需要把握其本质特征，即重复性和规律性。周期现象不是杂乱无章的，而是按照一定的规律重复出现。这种规律性使得我们可以通过观察和分析历史数据，来预测未来周期的变化趋势。同时，周期的长度和幅度也是重要的参考指标，它们可以帮助我们更好地把握周期的特征和变化。

周期是一种普遍存在的现象，它揭示了事物运动和变化的规律性。通过深入理解和应用周期的概念，我们可以更好地认识和理解世界，做出更明智的决策。

周期的作用广泛而深远，主要体现在以下几个方面：

在数学领域，周期的概念描述了一个序列或函数重复自身模式的规律性。这种规律性有助于我们预测和推断序列或函数的未来趋势，从而进行更精确的计算和决策。例如，在三角函数中，正弦、余弦和正切函数的周期性质使得我们可以通过限制角度在一个周期内来简化问题。

在物理学中，周期的概念对于理解物体运动的规律性至关重要。例如，做匀速圆周运动的物体，其运动一周所用的时间就是周期，这有助于我们描述和预测物体的运动状态。同时，物体或物理量（如交变电流、电压等）完成一次振动（或振荡）所经历的时间也是周期，这有助于我们分析物理现象的变化规律。

在生物学中，周期的概念对于理解细胞生长、分裂和再生的过程具有重要意义。细胞周期是生物体中细胞生长、分裂和再生的周期性过程，对于细胞的正常生长和发育起着至关重要的作用。通过研究细胞周期的调控机制，我们可以更好地理解细胞生物学和疾病机制，为疾病的治疗和预防提供更多的线索和方法。

在经济学中，周期的概念帮助我们理解经济活动的波动性和规律性。经济周期指的是一国经济活动沿着经济发展总趋势所呈现出的有规律性的扩张和收缩。通过研究经济周期，我们可以预测经济的未来走势，为政策制定和投资决策提供重要的参考依据。

周期的作用在于揭示事物运动和变化的规律性，帮助我们预测和推断未来趋势，从而做出更明智的决策。无论是在数学、物理、生物还是经济领域，周期的概念都具有重要的应用价值。

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