正切函数值域、正切函数值域为什么是R 收藏 0

高一数学必修第一册第五章《三角函数》要点解析暨知识清单简介

1.高考考点：（1）三角函数定义；（2）三角函数运算；（3）三角函数图像与性质。

2.知识模块学习要点

基本概念部分：（1）弧度制，是一种度量制度。而度量制度的核心内容是度量单位大小的规定，所以这里面第一个要理解的是“1弧度角”的规定。下面的内容就是在弧度制下公式的简化（简化后的两个公式）以及弧度制与角度制的换算。换算关系可以用前面的第一个公式求出半圆所对圆心角的弧度数推算出来。

（2）定义，新教材与老教材定义方式有所不同，由于以前的很多考察定义的题目还会遇到，所以两个定义方式最好都掌握。定义必须要背记下来，在后面是学习中比较有用。比如用定义可以解决:相限角三角函数值的符号判断，同角三角函数的关系以及诱导公式的推导与应用。应用提示，看到“角的终边”的题目就关联定义。

基本运算部分：四组公式，重点掌握公式应用的方法。

（1）同角三角函数关系。应用提示，公式应用方法一，对分式分子分母同除角的余弦实现正余弦化为正切，减少未知量个数，不是分式的将分母视为1用公式化为分式。公式应用方法二，对含同角正余弦等式两边平方，配凑出第一个公式的形式，实现化简目的。

（2）诱导公式。学法建议：用三角函数定义（新教材）推导课本上六组诱导公式3-5遍就能记住公式，再用诱导公式将0°～90°之间的五个特殊角推广到0°～360°之间的17个特殊角，重复三遍记住特殊角三角函数值。应用提示，真正理解“奇变偶不变”的含义，解题时试着“把未知角用已知角表示”实现条件与结论的关联。

(3)两角和与差的三角函数。推导3-5遍，并逆向默写公式3-5遍，熟记公式。应用提示，公式应用一，角的拆分。拆分的第一种情形有已知角和未知角，“把未知角用已知角表示”；拆分的第二种情形没有已知角，“将一次项拆分”。公式应用二，辅助角公式，“同角齐次”优先考虑使用辅助角公式。

(4)倍角公式。推导3遍记住公式，并由余弦的倍角公式逆用得出正余弦平方形式的降幂公式。应用提示，遇到正余弦的平方形式，使用降幂公式。

图像与性质部分:

(1)正弦函数、余弦函数、正切函数图像与性质。背记默写三种函数的图像，并由正弦函数图像观察出性质。学习单调区间时要正确理解2kπ的含义，表示的是周期的整数倍。余弦函数性质可由余弦曲线是由正弦曲线向左平移π/2得到，再由正弦函数性质推算得出。

(2)y=Asin(wx+α)图像与性质

第1部分图像，掌握五点作图法与平移与伸缩。

平移:图像的平移按照“左加右减,上加下减”解决问题有困难的，可以这样理解这个问题

“当y=f(x)图像上任意一点向右平移1个单位，新的图像上的点Q(x,y)坐标将不再适合原来的解析式y=f(x),需要把Q(x,y)点向左平移回去1个单位到点(x-1,y)才能又回到y=f(x)的图像上，才能重新适合原解析式,所以新图像解析式为y=f(x-1)。上加下减则是当向上平移1个单位以后，新图像上的点(x,y)坐标不再适合，需要向下平移回来到(x,y-1)才能适合原解析式，即y-1=f(x),移项以后得到y=f(x)+1。”伸缩的问题按照以上思路同样处理即可。

第2部分，性质。

性质1,值域问题。两种常见类型，齐次同角，辅助角公式；齐次倍角，化为二次函数。

性质2,单调性。建议作图讨论。

性质3,奇偶性与对称性，记住结论，套上即可。

性质4,周期性。两类问题，一是考察公式的，直接公式求周期；二是求欧米伽范围的，这类问题有点难，但处理的方法也比较固定，设正余弦符号后面的角为t,得到简单的函数形式后作图讨论。

附:三角函数知识清单

高一数学知识点：余弦函数与正切函数

本节课的知识点：

1.余弦函数与正切函数的图像性质，单调性、定义域、值域、对称轴、对称中心。2.余弦函数与正切函数的性质考察，求解单调性、对称轴、对称中心用“脱衣服”原理，求解值域用“穿衣服”原理。

例题

类比学习：同正弦函数，脱衣服和穿衣服原理。因为cosx是偶函数，因此cos(x-2)和cos(2-x)函数图像是相同的，可以用geogebra软件模拟下。

求解下题：首先看选项得到最大值和最小值，然后只需要画最值范围的函数图像，然后求解即可。

求解下题：单调就等同于两个对称轴之间，因此T/2≥π/3-0.

求解最值问题：穿衣服的原理。

求解此题：往往画余弦函数的图像为-π-π，但此题为了写的区间连续，可以画0-2π之间的图像。代入求解即可。

求解此题：用分离常数法，注意定义域的取值范围。

求解此题：利用三角函数的两个基本公式；转化为两个函数有交点；换元法求解方程。

二、正切函数图像及性质：

穿衣服原理求解值域问题

换元法：函数的同增异减原则求解最大值和最小值。

收工，Get✓。

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