指数函数积分—解三角函数 收藏 0

分部积分法公式：一种简化积分计算的神奇方法

在高中数学中，我们学过微分法则，其中有一个重要的法则叫作乘积函数求导法则，它告诉我们如何求两个函数相乘的导数。例如，如果我们有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积函数u(x)v(x)的导数就是

这个法则很有用，因为它可以帮助我们求一些复杂函数的导数。但是你有没有想过，如果我们反过来，从这个法则出发，能不能得到一些关于积分的结论呢？答案是肯定的，这就是我们今天要介绍的分部积分法公式。

要推导分部积分法公式，我们只需要对乘积函数求导法则两边同时求不定积分就可以了。也就是说，我们要求出下面这个等式的两边的原函数：

根据微积分基本定理，我们知道(uv)′的原函数就是uv，而u′v+uv′的原函数就是∫u′vdx+∫uv′dx。所以我们可以得到：

整理一下，就得到了分部积分法公式：

或者写成另一种形式：

这个公式看起来很简单，但是它却有着非凡的作用。它可以帮助我们把一些难以直接求出的积分转化成更容易求出的积分。下面我们来看几个例子。

这个积分也不容易直接求出，因为它涉及到对数函数。如果我们用换元法来求解，可能会遇到一些困难。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很方便。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=lnx和v=1。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。这样我们就轻松地求出了这个积分。

这个积分也比较复杂，因为它涉及到指数函数和三角函数。如果我们直接用基本积分公式或者换元法来求解，可能会很繁琐。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很巧妙。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=e^x和v=sinx。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。注意到最后一步中又出现了原来要求的积分∫e^xsinxdx。这时候我们可以把它移到等号左边，并且把系数合并起来，得到：

通过上面的例子，我们可以看到分部积分法公式是一种非常强大而灵活的工具，它可以帮助我们简化一些复杂的积分计算，并且提高我们对于不同类型函数之间关系的理解。当然，在实际应用中，并不是所有的积分都适合用这种方法来处理，有时候还需要结合其他方法或者技巧来求解。但是只要掌握了基本原理和技巧，并且多加练习和思考，相信你一定能够运用自如，并且享受其中的乐趣。

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常用的积分公式都有哪些？值得收藏，经常用到

事实上，所有的不定积分都可以当作积分公式来看，当然我们通常都只关注比较简单的那些，太复杂的也记不住啊。常用的积分公式，指的是六大基本函数相关的一些不定积分。

首先是常量函数的积分公式。包括：

(1)∫0dx=C; (2)∫1dx=x+C; (3)∫adx=ax+C. a是任意常数。

虽然被积函数都是常量，但0的原函数是任意常数，而非0的常数的原函数却是一次函数.

然后是幂函数：

(3)∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C (a≠-1,x>0).

你可以对右边求导，就可以得到被积函数。求导和不定积分可以看作是一个互逆的过程。x大于0是为了防止偶数次号内有负数，或者分母是0，造成被积函数没有意义。而a=-1时，却是另外一类不定积分，是原函数为对数函九有关的不定积分。

(4)∫1/xdx=ln|x|+C (x≠0); (5)∫1/(xlna)dx=log_a |x|+C (a>0, a≠1; x≠0);

需要注意的是，当x>0时，不需要加绝对值符号。否则就要加绝对值符号，这一点是很多人容易忽略的。

还有指数函数的不定积分公式：

(6)∫e^xdx=e^x+C; (7)∫a^xdx=a^x/lna+C (a>0, a≠1).

与三角函数有关的不定积分公式特别多，这里只分享比较简单的一些。注意，不论是与三角函数有关的不定积分，还是与反三角函数有关的积分，它们一般都是成对出现的，而且两个积分之间总有某种交错对称的关系，注意观察，结合起来才容易记忆。

与三角函数有关的常用积分公式：

(1)∫cosaxdx=1/a*sinax+C; ∫sinaxdx=-1/a*cosax+C(a≠0);

当a=1时，就有∫cosxdx=sinx+C; ∫sinxdx=-cosx+C;

其实所有的积分公式中，x都可以替换成中间变量u=ax，结果在原函数前面乘上一个1/a就可以了。

(2)∫(secx)^2dx=tanx+C; ∫(cscx)^2dx=-cotx+C;

(3)∫secx·tanxdx=secx+C; ∫cscx·tanxdx=-cscx+C;

(4)∫(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C; ∫(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;

(5)∫dx/(1±sinx)=tanx∓secx+C; ∫dx/(1±cosx)=-cotx±cscx+C;

(6)∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;

注意，求不定积分的方法有很多，用不同的方法可能会得到不同的形式，所以千万不要一看到形式不同，就认为结果是错误的。

(7)∫tanxdx=-ln|cosx|+C; ∫cotxdx=ln|sinx|+C;

(8)∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C; ∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C;

(9)∫dx/(1±tanx)=1/2*(x±ln|cosx±sinx|)+C;

∫dx/(1±cotx)=1/2*(x∓ln|sinx±cosx|)+C;

(10)∫dx/(1±secx)=x+cotx∓cscx+C; ∫dx/(1±cscx)=x-tanx±secx+C.

(11)∫xsinxdx=sinx-xcosx+C; ∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.

最后是与反三角函数有关的几个积分公式：

(1)∫dx/(1+x^2)=arctanx+C=-arccotx+C;

(2)∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C=-arccosx+C;

(3)∫arcsinxdx=xarcsinx+√(1-x^2 )+C;

∫arccosxdx=xarccosx-√(1-x^2 )+C;

(4)∫arctanx=xarctanx-1/2*ln(1+x^2)+C；

(5)∫arccotx=xarccotx+1/2*ln(1+x^2)+C.

当然，很少人能够一下子记住这么多公式。所以我们要有记忆的技巧，比如最后的反三角函数的原函数，都是x与它本身的积，再加上或减去它们的导数的分母部分，再加C。有些时候，我们还要运用后面学习的知识，自己来推导这些公式。

最合理的方法是把它们收藏起来，先记住最简单的那几个，以后需要的时候，再回头来查阅，可以为今后解题节省大量的时间。

微积分基础：积分

积分是微积分中的一个核心概念，主要用于计算函数在某一区间上的累积量，如面积、体积等。积分分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）

• 定义：指一个函数的导数等于另一个给定函数。比如，若F(x)的导数为f(x)，即F\'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
• 几何意义：在几何上，原函数可以看作是在坐标平面上的一条曲线，这条曲线的切线斜率（即导数）在每个点上都等于给定函数f(x)的值。因此，f(x)的不定积分表示的是所有可能的原函数组成的曲线族，这些曲线族可以通过对同一个原函数进行沿y轴方向的平移得到。
• 性质：

原函数不唯一：一个函数可以有无限多个原函数，因为任意两个原函数之间只相差一个常数C。例如，对于函数，其原函数是，其中C可以是任何实数。

连续性要求：不是所有的函数都有原函数。

存在条件：连续函数一定存在原函数。对于不连续的函数，如存在有限个第一类间断点（可去或跳跃），或某些特定的第二类间断点（如振荡间断），它们也可能存在原函数。

• 应用：在实际问题中，求解原函数通常是通过积分运算来实现的。不定积分的结果就是原函数加上一个任意常数，这个结果代表了给定函数的所有可能的原函数集合。

不定积分是求函数的原函数（或反导数）的过程。

给定一个函数 f(x)，其不定积分表示为：

其中，F(x) 是 f(x) 的原函数，C 是积分常数。

例子：

定积分用于计算函数在区间 ([a, b]) 上的累积量，表示为：

几何上，定积分表示曲线 y = f(x) 与 x轴在 x = a 到 x = b 之间所围的面积。

例子：

以下是一些常见的不定积分公式：

• 幂函数积分：
• 指数函数积分：
• 对数函数积分：
• 三角函数积分：

• 线性性质：
• 区间可加性：

积分在多个领域有广泛应用，包括：

• 几何：计算面积、体积。
• 物理：计算功、能量、质心等。
• 经济：计算总收益、总成本等。

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