指数函数导数,指数函数导数是什么 收藏 0

高中数学：导数的运算

基本初等函数的导数公式

常见函数的导数推导

导数的运算法则

已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.

复合函数的导数

1、复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2、复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系我们可以表示为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

基本初等函数的导数公式在数学中的重要性

基本初等函数的导数公式在数学中占据着举足轻重的地位，它们不仅是微积分学的基础，还是解决各种实际问题的重要工具。以下详细探讨这些公式的重要性：

1、微积分的基础

导数是微积分中的核心概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。

基本初等函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数，是推导更复杂函数导数的基础。

2、解决问题的工具

在物理学、工程学、经济学等多个领域，经常需要求解函数的极值、曲线的切线斜率、速度、加速度等问题，这些都依赖于导数。

掌握基本初等函数的导数公式，可以迅速解决这些实际问题，提高工作效率。

3、理论推导的桥梁

在数学内部，许多定理和公式的推导都离不开导数。

例如，泰勒公式、洛必达法则等高等数学中的重要工具，都需要利用基本初等函数的导数公式进行推导。

4、培养逻辑思维和数学素养

学习基本初等函数的导数公式，有助于培养逻辑思维和数学素养。

通过推导和理解这些公式，可以锻炼抽象思维能力和解决问题的能力。

5、优化和极值问题

在实际生活中，经常需要找到某种条件下的最优解，如成本最低、产量最高等。

通过求导数并找到极值点，可以解决这些优化问题。

6、数学模型的建立

在建立数学模型时，经常需要用到导数来描述变量的变化率和相互关系。

掌握基本初等函数的导数公式，有助于更准确地建立数学模型并进行分析。

7、学科交叉和融合

在现代科学研究中，数学已经渗透到各个学科领域。

掌握基本初等函数的导数公式，有助于跨学科的研究和合作。

综上所述，基本初等函数的导数公式在数学中具有极其重要的地位。它们不仅是微积分学的基础，还是解决各种实际问题的重要工具。因此，在学习数学时，必须重视并掌握这些公式。

以下是相关练习题目（有需要的请收藏）

导数技巧：“指数找基友，对数单身狗；指对在一起，常常要分手”

高三导数专题之对数单身狗，指数找朋友问题技巧归类整理。

指数找基友，对数单身狗”是在判断代数式符号、比较代数式大小、证明函数不等式等方面的一条经验性规则，这个口诀最初是由重庆南开中学吴剑老师（网名野猪佩奇）提出的，下面看如何理解.

根据指数函数和对数函数的导数、以及导数的运算法则，不难知道：

[f(x)e-x]′=0⇔[f′(x)-f(x)]e-x=0⇔f′(x)-f(x)=0

[f(x)ex]′=0⇔f′(x)+f(x) ex=0⇔f′(x)+f(x)=0

[lnx-f(x)]′=0⇔1/x -f′(x)=0

从这三个式子，我们大致可以得到如下两条经验：

指数找基友：如果我们要证明大于(或小于)一个非超越函数式f(x)，可以考虑采用作商法，因为作商构造出的新函数f(x)/极值点一般可求，即方程f \'(x)-f(x)=0可解，可避免多次求导.此所谓“指数找基友”——给找基友f(x).

对数单身狗：如果我们要证明lnx小于(或大于)一个非超越函数式f(x)，可以直接作差，构造函数lnx-f(x)，这也是因为其极值点可求，即方程1/x-f\'(x)=0可解，可避免多次求导. 如果待证的不等式形式较为复杂，可以将lnx分离出来，使其系数为常数，次数为1，此所谓“对数单身狗”.

已知函数f(x)=-a.若a=1， 证明：当x≥0时，f(x)≥1.

【方法一】指数找基友

当a=1时，f(x)=-，

不等式f(x)≥1等价于+1≤.

构造函数g(x)=

求导可得g\'(x)==≤0，

其中等号只在x=1时取得，

所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，

所以当x≥0时，g(x)≤g(0)=1，

又因为>0，所以+1≤.

故原命题得证.

指对在一起，常常要分手：

拓展思路

数学发现：指数函数的求导原理所包含的数学奥秘

我们的数学课本给出了常用函数求导的数学过程和结果，但其过程包含的优美的数学规律却很少体现，本篇我们就以指数函数为例来发现数学的美

如下是一个有关2为底的指数函数：2^t，我们在这里研究下它的导数所蕴含的数学规律

根据函数的求导原理，2^t的导数的表达式就是

以及2^t导数所表示的切线斜率就是

我们将2^(t+dt)进行整合，如下图可以分拆为2^t 和2^dt

我们将2^t提取出来，如下图，我们现在要解决的就是等式右边括号内的式子

这是本篇的重点，我们假设dt=0.001，那么其结果等于

我们将上述dt继续缩小100倍，其结果仍是0.693……那么这个值是不是一个常数呢？

为了验证我们的猜测，我们继续将上述dt缩小1000倍，结果仍然是0.693……只是不断地趋于一个常数

所以我们可以肯定2^t的导数就是2^t乘以一个常数，这是所有指数函数都有的特性

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