指数函数定义域,指数函数定义域是什么 收藏 0

高中数学必修一之指数函数

今天分析必修一第二章的指数函数的有关知识。先总结下指数函数的一些性质：（有一部分为图片模式）

1. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个相反数，负数没有偶次方根；0的任何次方根都为0.

2. 分数指数幂的概念中，一定要注意a是大于0的，m,n属于正整数，且n大于1。分数指数幂实际就是一个数先算出分子个数相乘，再求出开分母数的次方根。0的负分数指数幂没有意义。

3. a的负n次方意思就是1除以a的n次方，指数幂为负号，相当于求出来的数值分之一，为a-ⁿ=1÷aⁿ

4. 指数函数的定义域为R；a的值必须为大于0且不等于1；a前面的系数必须为1；a的次方一定要是x，而不能是带有x的函数，例如a的2x次方就不是指数函数。

6. 另外，要记住指数函数在x大于0或者小于0的值域。

①当0＜a＜1时，x＜0,y＞1； x＞0,0＜y＜1; ②当a＞1时，x＜0，0＜y＜1； x＞0，y＞1。

下面分析几道题，对于解决幂的问题，要善于观察分析，利用所学知识进行化简再求值。（抱歉，还是图片模式）

今天就分析这两道题，明天继续分析有关指数函数的题。

谢谢大家关注与分享，希望大家多多评论互动！

必修一——指数函数以及性质

一、前言（废话）

之前已经学习了指数与指数幂的运算，以及相关的指数运算性质（如果有不懂的读者，可以往前面去翻看一下），今日作者正式就开始讲指数函数以及相关的性质。

二、指数函数

指数函数其实就是之前学习的一个推广，当底数大于零，可以将指数的取值范围从指数推广到了实数，这就形成了指数函数的形成，对此只有看数学界的定义了。

在此之前有两个前提：

1. 指数函数的底数大于零。
2. 指数函数的底数不能等于一。

数学界指数函数的定义：

一般地，函数

编辑 搜图

请点击输入图片描述

只要形式上，符合上图的函数形式，则这种函数就是叫做指数函数。其中x是自变量，并且函数的定义域是R。

三、指数函数的性质

由指数函数的形式可以得出，指数函数的底数要求大于零，并且不等于一，这就让定义域划分为了两部分：

由于底数的取值范围，造就了两个区间，因此当底数0<a<1时，函数是一个单调递减的函数，当底数a>1时，函数是一个单调递增的函数。

以其中的a>1作为讨论，指数函数也是函数，既然是函数就按照函数的相关性质进行讨论，在这之前要先说明指数函数的定义域： x∈R

1. 指数函数的第一个性质就是单调性，由图可知，指数函数的单调性由a的取值范围决定的，当a>1时，指数函数是单调递增函数，当0<a<1时，指数函数是单调递减函数。
2. 函数第二个性质就是奇偶性，但从图像上看，并没有奇偶性，就不讨论了。
3. 函数第三个性质就是周期性，同理，从图像上看，也是没有周期性，也不做讨论了。
4. 函数第四个性质就是对称性，从图像上看，也没有对称性，也就不讨论了。

这就是从函数的性质上面进行讨论的，除此之外就需要从指数函数自身的性质进行讨论了。

1. 指数函数的所有的图像都过一个定点（0，1），即x=0时，y=1
2. 第二个专属性质就是单调性由a的取值范围决定的。

批注：

读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！

关注！关注！关注！重要事情说三遍

数学《指数函数》是什么？主要讲的是哪些知识点呢？

我们在高中乃至大学都在接触函数，说简单一点，函数其实是一种特殊的映射关系。

定义：一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就称x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

想必这样说，大家应该很好理解了！那我们今天来学习一个函数里面的子板块，那就是我们今天要接触的指数函数。

在学习之前我来给大家举个例子，我们大家都知道，细胞在分裂过程中，是以一分为二，二分为四，四分为八……一直这样分下去。

那么大家不妨假设一下，如果这个细胞一直按照这个规律去分裂，分裂到n次时，可以得到一组怎样的数？

据观察，这组数如果进行排列的话，可以是以下情况，即（1，4，8，16，32，64，128，…）如果我们将这组数进行转化，那么可以得到一组即相同又不一样的表达，即（2⁰ ，2¹ ，2² ，2³ ，2⁴ ，2 ⁵ ，2⁶，2⁷，…2ⁿ，… ）。

通过这一列数字的观察，大家发现没有，这列数的底数永远是2，右上方的指数却在不断增加，大家设想一下，如果底数不变，指数在实数范围内进行变化，那么会得到怎样的情况呢？

如果按照这个设想一直进行下去，他会得到一条光滑而有规律的曲线，如下所示：

我们再来看个例子，想必大家应该听说过这句话，即：一尺之棰，日取其半，万世不竭，这句话出自于《庄子.天下篇》，意思是说，有一根木棍，如果每天取这根木棍当天的一半，那么不管你取多长时间，都是取不完的。

同样的方法，我们不妨假设这根木棍可以一直这样取下去，并且用数字进行表述，然后将取的数字进行排列观察，即第0天是1，第1天取一半就是½，第2天再取剩下的一半就是¼，依次类推，取到第n天呢？

我们将上述数字进行排列，得到（1，1/2，1/4，1/8，1/16…），将这列数字进行转化，可得[(1/2)⁰ ，(1/2)¹ ，(1/2)² ，(1/2)³ ，(1/2)⁴ ，…(1/2) ⁿ ，…）

通过观察，一直这样取木棍的一半，得到的这组数每一个数，底数永远是1/2，右上方的指数逐渐增加，那么大家设想一下，如果指数在实数范围内不断变化，会得到什么情况呢？

这只是比较特殊的两个例子，如果我们将底数2换成其他的数字，然后固定下来不变动，同样方法，将底数1/2换成其他的分数固定下来，会不会有同样的效果呢？这就是我们这节课要学习的指数函数。

定义：一般情况，像y＝aˣ （a为常数，且a＞0，a≠1）这样的函数叫做指数函数，函数的定义域是R.

注意：在指数函数的定义表达式中，在aˣ 前面的系数必须是1，自变量 x 必须在指数的位置上，并且不能是x的其他表达式，反之就不是指数函数。

因为a＞0且a≠1，所以说底数a的取值要分为两个范围进行研究，当a＞1时，有以下图形。

解释：因为在指数运算中，如果底数是负数时，开偶次方根是没有意义的，所以底数小于零时，是一些分散的点，我们研究的是一般情况，所以只规定底数大于零。

根据定义及图像，可以得知当底数a＞1时，是单调递增函数，并且必过点（0，1），定义域{x∣x∈R}，值域{y∣y＞0}

当0＜a＜1时，有以下图形：

根据定义以及图像，可以得知当底数0＜a＜1时，是单调递减函数，并且必过点（0，1），定义域{x∣x∈R}，值域{y∣y＞0}

通过知识点学习，我们来看一个例题：

例题：若函数f(x)=aˣ (a>0，且a≠1)的图象过点(2，16)，请确定函数f(x)的解析式。

解答：根据题意，函数f(x)经过点（2，16），所以将该点代入指数函数模型，可得a² ＝16，解得 a＝4 或 a＝－4(舍去)。

则函数f(x)的解析式为f(x)＝4ˣ

今天的内容就讲到这里，大家下去过后可以做一做上面的练习题，有不同见解的朋友，评论区留言讨论。

本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com