指数函数为啥a不能小于0-为什么指数函数a不等于0 收藏 0

在数学里，有关《指数函数》的知识点，你都了解多少？

上一节课，我们学习了幂函数，今天我们继续学习一个新的内容，那就是指数函数，它和幂函数不同之处就是底数和指数的变化，幂函数的底数是自变量，指数是常数，这节课要学习的指数函数，指的是底数是常数，指数是自变量。

指数函数

指数函数在生活中其实运用非常广泛，例如放射性元素的衰变，人口增长，储蓄问题，细胞分裂等诸多方面都有着巨大的影响。

下面我们先来一起看一下，指数函数的定义到底是什么呢？

定义：一般地,函数y＝aˣ（a＞0，a≠1）叫作指数函数,其中指数x是自变量,底数a是常量。

在数学中，定义是非常重要的一个概念，但是又很抽象，最好的方法就是提炼重点，不要像背语文一样，一字不漏的背完。

方法：通过定义，我们可以知道函数的解析式，以及该函数的底数取值范围。

但是底数的取值范围并不是整个实数集R，所以我们需要对底数a进行讨论↓

由定义可得→a＞0，且a≠1

所以我们将范围划分成两种类型，即：0＜a＜1以及a＞1。

可能有朋友会问，为什么要这样划分呢？细心的朋友可能会关注到，区间（0，1）内的数都是分数，并且分母越大的时候，整个分数就会越小，分母越小的时候，整个分数就会越大，那么随着x的变化，整个值就会发生变化，就是说y＝aˣ会发生变化。

这样说可能对于基础弱的同学还是有些抽象，我再细化一下！如下所示。

①：在区间（0，1）中取值a＝½，a＝⅓，a＝¼以此类推…

1、当a＝½时，可以得到y＝(½)ˣ，此时底数已经确定下来，我们来观察该函数的走势图。

由图像可知，该函数的定义域是实数集R，值域是y值的变化，值域是{y|y＞0}，因为该函数图像是从左上方向右下方在下降，并且在定义域内没有间断，所以可以称该函数为减函数。

注意：我们可以看出，这个函数越往左取x值，那么得到的y值就越大，并且增长速度就越快，函数越往右取x值，那么y值就越小

2、当a＝⅓时，可以得到y＝(⅓)ˣ，此时底数已经确定下来，我们来观察该函数的走势图。

3、当a＝¼时，可以得到y＝(¼)ˣ的函数图像。

以此类推，假如我们分母从2取到n，即:y＝(1/n)ˣ，此时分母是在不断增大的，此时得到的底数也在区间（0，1），所以只要底数满足0＜a＜1，那么就可以得到该函数永远单调递减，并且底数越小，像左的增长速度就越快，像右的速度就越缓慢。

所以可得：x＞0时，0＜y＜1，x＜0时，y＞1

x＝0时，y＝1

4、当0＜a＜1时，图像比较。

我们可以看出，当x＞0时，底数越大，y越陡，底数越小，y越缓。当x＜0时，底数越大，y越缓，底数越小，y越陡。

②：在区间（1，＋∞）中取值底数a＝2，a＝3，a＝4……a＝n

1、同理，当a＝2时，可以得到y＝(2)ˣ，此时底数已经确定下来，我们来继续观察函数的走势图。

通过图像观察，我们可以得到函数定义域也是实数集R，值域为{y|y＞0}，该函数图像从左下方一直到右上方，都是递增趋势，并且在定义域内没有间断，所以可以称函数y＝2ˣ为增函数。

2、当a＝3时，可以得到y＝(3)ˣ，同理，函数图像如下所示：

3、当a＝4时，可以得到y＝(4)ˣ，图像如下所示：

通过图像观察，我们会发现，这些图像都是单调递增，当a＞1时，我们将a的取值推广到a＝n时，可以得到结论也是成立的。

4、当a＞1时，我们再来对比一下此时的函数图像走势图。

根据观察，大家会发现，当x＞0时，底数越大，函数图像越陡，底数越小，函数图像越缓。

当x＜0时，底数越大，函数图像越缓，底数越小，函数图像越陡。

所以还可以表示成：当x≥0时，则y≥1，当x＜0时，则0＜y＜1.

今天的指数函数内容就讲到这里，我们下节课再见，点赞➕关注，我们一起进步。

高中数学：指数函数16题型分类

一、指数函数的定义

一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.

注意：指数函数中规定>0，且≠1的原因：

(1)如果＝0，当>0时，恒等于0，没有研究的必要；当≤0时，无意义．

(2)如果<0，例如这时对于…，该函数无意义．

(3)如果＝1，则是一个常量，没有研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定>0，且≠1.

二、指数增长模型

在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则形如(∈R，且≠0；＞0，且≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．

三、指数函数的图象和性质

注意：（1）由指数函数的性质知，指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数的图象．

（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是>1，还是0<<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近轴．

四、不同底指数函数图象的相对位置

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<<<1<<.

在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．

(2)实质：指数函数的底数即直线＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小．

五、与指数函数复合的函数单调性

(1)关于指数型函数的单调性由两点决定，一是底数>1还是0<<1；二是()的单调性．它由两个函数复合而成．

(2)若＝()，＝()，则函数＝(())的单调性有如下特点：

(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成＝()，＝()，通过考查()和()的单调性，求出＝(())的单调性．

六、以下是细化知识点的考查

ⅰ.指数函数的概念

1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点：

①底数是大于0且不等于1的常数；

②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

③的系数必须为1.

(2)求指数函数的解析式常用待定系数法．

2、判断一个函数是指数函数的方法

(1)看形式：判断其解析式是否符合这一结构特征．

(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．

ⅱ.指数函数的解析式及应用

求指数函数解析式的步骤

(1)设指数函数的解析式为

(2)利用已知条件求底数.

(3)写出指数函数的解析式．

注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式.

ⅲ.指数型函数的实际应用

1、常见的几类函数模型

(1)指数增长模型

设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则

(2)指数减少模型

设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则

(3)指数型函数

把形如的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．

2、解决指数型函数应用题的流程

(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．

(3)解模：运用数学知识解决问题．

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．

ⅳ.指数函数的图象及应用

1、识别指数函数图象问题的注意点

(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数>1或0<<1；

(2)在轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；

(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．

2、解决指数型函数图象过定点问题的思路

指数函数的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如的函数图象过定点的问题，即令＝－，得＝＋，函数图象过定点(－，＋)．

ⅴ.与指数函数有关的定义域和值域问题

函数定义域、值域的求法

(1)定义域：形如形式的函数的定义域是使得()有意义的的取值集合．

(2)值域：①换元，令＝()；

②求＝()的定义域∈；

③求＝()的值域∈；

④利用的单调性求∈的值域．

注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．

(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．

ⅵ.单调性及其应用

1.比较幂的大小的方法

(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．

(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当取相同幂指数时可观察出函数值的大小．

(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．

(4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论．

2.解与指数有关的不等式时需注意的问题

(1)形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分>1与0<<1两种情况讨论；

(2)形如的不等式，注意将化为以为底的指数幂的形式，借助的单调性求解；

(3)形如的形式，利用图象求解．

注意(1)指数型不等式(＞0，且≠1)的解法：

当＞1时，()＞()；当0＜＜1时，()＜()．

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：(＞0，且≠1)等．

ⅶ.指数函数性质的综合应用

1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．

2、若函数 = ()在区间D上是增(减)函数，则复合函数当>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<<1时，在区间D上是减(增)函数.

七、练习题目（有兴趣收藏点赞）

指数函数与对数函数

1. 性质理解：指数函数 y=ax（a>0 且 a=1）具有单调性，当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减。对数函数 y=logax（a>0 且 a=1）也具有单调性，当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减。指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线 y=x 对称。
2. 图像绘制：利用函数的单调性和特殊点（如与坐标轴的交点、拐点等）绘制函数图像。注意指数函数和对数函数在 x 趋于正无穷或负无穷时的极限行为。

1. 指数运算：掌握指数运算法则，如 am+n=am⋅an，(am)n=amn，a−m=am1 等。利用指数运算法则进行化简和计算。
2. 对数运算：掌握对数运算法则，如 logamn=logam+logan，loganm=logam−logan，logamn=nlogam 等。利用对数运算法则进行化简和计算。

1. 增长与衰减问题：指数函数常用于描述增长或衰减问题，如人口增长、细菌繁殖、放射性衰变等。根据题意建立指数函数模型，并利用函数性质求解问题。
2. 对数问题：对数函数常用于解决与比例、倍数、对数表或对数尺相关的问题。根据题意建立对数函数模型，并利用函数性质求解问题。

1. 识别函数类型：根据题目描述或函数表达式识别出是指数函数还是对数函数。
2. 利用函数性质：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质进行求解。
3. 建立数学模型：根据题意建立合适的数学模型，如指数函数模型或对数函数模型。
4. 求解与验证：利用函数运算法则和性质进行求解，并验证结果的合理性。

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