指数函数与log互换公式【指数函数运算法则log】 收藏 0

数学史上的一场革命：对数函数如何影响科学计算

笛卡尔的直角坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分是十七世纪数学最伟大的三大发明。

对数的概念是由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）在 1614 年所公布。18 世纪法国的大数学家拉普拉斯曾评价对数的发明：“在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。

这样的高度评价源于对数在科学计算上的巨大贡献。在计算器和计算机尚未出现的时代，对数的应用大大简化了复杂的计算过程，这一发明对科学、工程和尤其是天文学的影响深远。

这次让我们来看下对数以及如何简化计算的视频。

对数函数是数学中的一种基本函数，它是指数函数的逆函数。如果我们有一个指数方程 aᵧ = x，那么对应的对数方程是 y = logₐ(x)。

其中 a 是底数，x 是真数。这里的 y 就是 x 的以 a 为底的对数。

换句话说，对数函数回答了这样一个问题：底数 a 需要被乘以自身多少次才能得到另一个特定的数 x？

对数中，如自然对数底 e，常用对数底 10，以及二进制对数底 2。在数学和工程学中，自然对数和常用对数尤为重要，而二进制对数在计算机科学中具有广泛应用。下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域(图自维基):

指数与对数是互逆关系，两者在数学中都是非常重要的。从下面图形中可以看到左边为指数表达，右边则是对数表达结构:

那么对数的图像在定义域内，究竟是怎样变化呢？请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像，注意当 a > 0 时在不同范围内如何变化：

对数函数的图像显示了这一点，它展示了随着底数的变化，函数图像是如何从 y = 0 点开始，根据底数是大于 1 还是小于 1 分别向上或向下增长。

具体地说，当 0 < a < 1 时，图像随 x 增加而递减；当底数 a > 1 时，我们得到一个随 x 增加而增加的图像。

观察要点：

• 函数必经过点 (1,0) 处；
• 当 0 < a < 1 时，函数为严格单调下降；
• 当 a > 1 时，函数为严格单调上升；

指数与对数是互逆函数，现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比：

对数函数必定会通过点 (1,0)，因为任何数的 0 次幂都是 1。而 y = x 线则作为指数函数和对数函数图像的对称轴，其中指数函数始终通过点 (0,1)。

观察要点：

• 对称轴为 y=x；
• 指数函数必经过点 (0,1)；
• 对数必经过点 (1,0)；

对数函数具有一些重要的性质，这些性质能够简化复杂的数学运算和数据处理。

1. 乘法转加法：对数的一个核心性质是将乘法运算转换为加法运算。即：

log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

1. 除法转减法：类似地，对数可以将除法运算转换为减法运算。即

log_b(x/y) = log_b(x) – log_b(y)

1. 幂运算转乘法：对数还可以将幂运算转化为乘法。即

log_b(xʸ) = y * log_b(x)

1. 对数的底数变换公式：

log_b(x) = logₖ(x) / logₖ(b)

其中 k 是新的底数，这个公式使得我们能够在不同底数的对数之间进行转换。

现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为“用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。

原因就是，在16世纪和17世纪，天文学家和航海家需要进行大量的计算以确保精确性和安全性。这些计算通常涉及复杂的三角函数和大数的乘除法，非常耗时且容易出错。而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算，这个发现当时震动了整个数学界。

我们来看看怎样利用对数的性质来简化计算，简单来讲是将注意力从需要参与计算的数转移到了幂的部分，只要底数相同，利用前面的运算性质就能使得计算变得简便。

以计算 512×8192 为例看下整个计算的过程。下面图形是底数为 2 对应的幂以及相对应的结果，类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的。

想要求出 512×8192 的结果，需要查 512 所对应的指数为 9，而 8192 对应 13。

然后可以轻松计算出 9+13=22，上面过程用公式表达如下：

log₂(512 × 8192) = log₂(512) + log₂(8192) = 9 + 13 = 22

再去《对数反查表》中反向去查 22 所对应的值，就得到结果为 4194304，因此，512 × 8192 = 4194304。

上面是把两个大数（512×8192）的乘法转化成加法（9+13）借助查表算出结果，类似对于大数的除法运算也可以转成减法来做。加减法当然要比乘除法更容易得多，所以说这是一个伟大的简化数值计算方法。

常用的积分公式都有哪些？值得收藏，经常用到

事实上，所有的不定积分都可以当作积分公式来看，当然我们通常都只关注比较简单的那些，太复杂的也记不住啊。常用的积分公式，指的是六大基本函数相关的一些不定积分。

首先是常量函数的积分公式。包括：

(1)∫0dx=C; (2)∫1dx=x+C; (3)∫adx=ax+C. a是任意常数。

虽然被积函数都是常量，但0的原函数是任意常数，而非0的常数的原函数却是一次函数.

然后是幂函数：

(3)∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C (a≠-1,x>0).

你可以对右边求导，就可以得到被积函数。求导和不定积分可以看作是一个互逆的过程。x大于0是为了防止偶数次号内有负数，或者分母是0，造成被积函数没有意义。而a=-1时，却是另外一类不定积分，是原函数为对数函九有关的不定积分。

(4)∫1/xdx=ln|x|+C (x≠0); (5)∫1/(xlna)dx=log_a |x|+C (a>0, a≠1; x≠0);

需要注意的是，当x>0时，不需要加绝对值符号。否则就要加绝对值符号，这一点是很多人容易忽略的。

还有指数函数的不定积分公式：

(6)∫e^xdx=e^x+C; (7)∫a^xdx=a^x/lna+C (a>0, a≠1).

与三角函数有关的不定积分公式特别多，这里只分享比较简单的一些。注意，不论是与三角函数有关的不定积分，还是与反三角函数有关的积分，它们一般都是成对出现的，而且两个积分之间总有某种交错对称的关系，注意观察，结合起来才容易记忆。

与三角函数有关的常用积分公式：

(1)∫cosaxdx=1/a*sinax+C; ∫sinaxdx=-1/a*cosax+C(a≠0);

当a=1时，就有∫cosxdx=sinx+C; ∫sinxdx=-cosx+C;

其实所有的积分公式中，x都可以替换成中间变量u=ax，结果在原函数前面乘上一个1/a就可以了。

(2)∫(secx)^2dx=tanx+C; ∫(cscx)^2dx=-cotx+C;

(3)∫secx·tanxdx=secx+C; ∫cscx·tanxdx=-cscx+C;

(4)∫(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C; ∫(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;

(5)∫dx/(1±sinx)=tanx∓secx+C; ∫dx/(1±cosx)=-cotx±cscx+C;

(6)∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;

注意，求不定积分的方法有很多，用不同的方法可能会得到不同的形式，所以千万不要一看到形式不同，就认为结果是错误的。

(7)∫tanxdx=-ln|cosx|+C; ∫cotxdx=ln|sinx|+C;

(8)∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C; ∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C;

(9)∫dx/(1±tanx)=1/2*(x±ln|cosx±sinx|)+C;

∫dx/(1±cotx)=1/2*(x∓ln|sinx±cosx|)+C;

(10)∫dx/(1±secx)=x+cotx∓cscx+C; ∫dx/(1±cscx)=x-tanx±secx+C.

(11)∫xsinxdx=sinx-xcosx+C; ∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.

最后是与反三角函数有关的几个积分公式：

(1)∫dx/(1+x^2)=arctanx+C=-arccotx+C;

(2)∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C=-arccosx+C;

(3)∫arcsinxdx=xarcsinx+√(1-x^2 )+C;

∫arccosxdx=xarccosx-√(1-x^2 )+C;

(4)∫arctanx=xarctanx-1/2*ln(1+x^2)+C；

(5)∫arccotx=xarccotx+1/2*ln(1+x^2)+C.

当然，很少人能够一下子记住这么多公式。所以我们要有记忆的技巧，比如最后的反三角函数的原函数，都是x与它本身的积，再加上或减去它们的导数的分母部分，再加C。有些时候，我们还要运用后面学习的知识，自己来推导这些公式。

最合理的方法是把它们收藏起来，先记住最简单的那几个，以后需要的时候，再回头来查阅，可以为今后解题节省大量的时间。

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