反函数求导公式 二阶—反函数求二阶导数例题 收藏 0

反函数的定义及求法

反函数的求法一、引言在数学中，反函数是一个非常重要的概念。

它是指对于一个函数y=f(x)，存在另一个函数x=φ(y)，使得对于y的每一个取值，都有x的唯一对应值。

反函数的存在性是由函数的单调性和连续性所决定的。

本文将详细介绍反函数的求法，并给出相应的例题和练习。二、反函数的定义和性质定义：如果对于函数y=f(x)，存在一个函数x=φ(y)，使得对于y的每一个取值，都有x的唯一对应值，那么称x=φ(y)为y=f(x)的反函数。性质：1. 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。

2. 反函数和原函数的关系是关于y=x对称。

3. 反函数在其定义域内是单调的。

4. 反函数的导数等于原函数导数的倒数。三、反函数的求法求反函数的方法主要有两种：

一种是利用反函数的定义求解，另一种是利用原函数的性质求解。方法一：利用反函数的定义求解步骤1：根据反函数的定义，设原函数为y=f(x)，其反函数为x=φ(y)。

步骤2：将y=f(x)中的x替换为y，得到y=f(y)。

步骤3：解出y，得到x=φ(y)。

步骤4：确定反函数的定义域和值域。例题：求函数y=2x+1的反函数。解：将y=2x+1中的x替换为y，得到y=2y+1。解出y，得到x=(y-1)/2，即x=φ(y)。因此，函数y=2x+1的反函数为x=(y-1)/2。方法二：利用原函数的性质求解步骤1：根据原函数的性质，确定原函数的单调性和连续性。

步骤2：根据反函数的定义，确定反函数的定义域和值域。

步骤3：利用原函数的导数和单调性，求解反函数的表达式。例题：求函数y=x^2的反函数。解：因为函数y=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减，所以它的反函数在y>0时单调递增，在y<0时单调递减。又因为原函数的导数为2x，所以反函数的导数为1/2√y。由此可得反函数的表达式为x=√y/2。

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二项分布概率及反函数导数的疑问解答

[教孩子学数学系列]-二项分布概率及反函数导数的疑问解答

目录

1怎么理解二项分布的概率公式

2 澄清反函数导数的模糊认知（以arcsinx为例）

正文

1 怎么理解二项分布的概率公式

问题1. 事件发生概率为p，重复试验n次，该事件发生k次的概率为

怎么理解这个公式。为什么是组合数 而不是排列数 ？

答：这个问题曾经困扰过我，最终想通了。为什么会有这个疑问？概率论开头就是研究的古典概型：一个试验结果有很多情况，每种情况发生的可能性相同，则某一事件发生的概率就是组成该事件的所有情况除以试验结果的全部情况的一个比例。用比例作为概率。注意：这里的所有情况一般是排列数

例如：问题2.从 1,2,…,9 中任意选3个（不重复）数字，总共得到多少个不同数字n=? 选到1,2,3的情况有几种n2=？选到123的概率是多大p=？

答：

而二项分布也是古典概型问题，为什么它是用组合数，而不是排列数呢？比较问题1与问题2的不同之处: 问题2取出数字1，2，3后一共有6种排列. 即数字与排列顺序共同决定了一种情况，只有数字不能决定一种情况。而问题1数字就代表顺序，选定数字无需再排序，仅需数字就能决定一种情况。因此只是选择不同数字的组合数而不是排列数。例如：把第一次试验记作x1,第二次试验记作x2,第三次试验记作x3, 事件发生记作1，不发生记作0，则三次试验发生两次事件的情况共有101, 110, 011三种。

其中101代表x1=1,x2=0,x3=1. 相当于选中x1,x3, 不能更改它们顺序（假设把x1,x3交换顺序，即交换x1,x3的值结果不变，是同一种情况）。问题解决。

2 澄清反函数导数的模糊认知（以arcsinx为例）

答：我们知道反函数的导数是原函数导数的倒数。容易犯的错误就是在没有理解的情况下机械套公式. 例如下面

为什么错了？下面作详细分析：

首先介绍反函数的特点。函数是一个自变量到函数值的映射。如果把映射方向反过来，用原函数的函数值到自变量的映射定义一个新函数。则它就是原函数的反函数。反函数特点：1. 函数与反函数关于y=x 对称。2. 因为函数值的唯一性（对一个自变量只能有一个函数值）所以原函数与反函数都必须是单调的。（或者截取原函数的单调区间 如sinx截取x∈[-л/2,л/2]区间）

设 y=arcsinx, 则 x=siny

注：这里分母只取正号是因为根据arcsin函数定义y∈[-л/2,л/2]。

解答完毕。

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