反函数求导例题及解析;反函数的求导法则是什么 收藏 0

借力打力求导数，如果一个函数不好求导，不妨先求它反函数的导数

本篇是上一篇文章

的延续阅读。

在对幂函数y=x^μ求导时，我们用到了以自然常数e为底数的对数函数y=ln x的求导结果（ln x）\’=1/x。那么，它的求导过程是怎么样的呢？我们一起来了解一下。

对数函数y=log(a)x直接求导是很难实现的，因为[log(a)（x+h)-log(a)x]没法继续合并或分解。但前文中，我们已经求得了指数函数y=a^x的导数，(a^x)\’=a^x*ln a。既然两者互为正反函数，我们据此，来推导一下它们的导数之间的关系。

值得注意的一点是，对数函数y=log(a)x和指数函数y=a^x互为正反函数，是从它们的函数法则上讲的。对于反函数y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函数（或直接函数）表达式应为：x=a^y或g(y)=a^y。

设存在一个直接函数（或正函数）x=g(y)（导数已知），它的反函数为y=f(x)。

直接函数（或正函数）x=g(y)的导数g\'(y)=△x/△y，而反函数y=f(x)的导数f\'(x)=△y/△x。所以有f\'(x)=1/g\'(y)。也就是说，正反函数的导数互为倒数。

导数是需要极限运算的，上式中的g\'(y)和f\'(x)略去了极限字符lim，但这不影响两者的互为倒数关系。

我们先对直接函数g(y)=a^y求导，得：g\'(y)=a^y*ln a。

那么，反函数f(x)=log(a)x的导数f\'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f\'(x)=1/（x*ln a），记作(log(a)x)\’=1/（x*ln a）。取a=e时，（ln x）\’=1/x。

比较常见的正反函数还有三角函数和反三角函数。

我们以正弦函数和正切函数为例，来推导一下它们的反函数的导数。

先给出正弦函数y=sin x的导数f\'(x)=cos x，正切函数y=tg x的导数f\'(x)=sec^2 x。在后面的文章里我们会再作推导，欢迎关注阅读。

1、设正弦函数x=sin y为直接函数，它的反函数为反正弦函数y=arc sin x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=√(1-x^2)。

2、设正切函数x=tg y为直接函数，它的反函数为反正切函数y=arc tg x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把正割sec y转换成正切tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y=1+x^2，所以有，(arc tg x)\’=1+x^2。

看到此处，有的小伙伴可能会产生一些困惑：怎么一会y，一会x的，闹哪样啊？

对于反函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量；而对于直接函数（或正函数）x=g(y)，y是自变量，x是因变量。但在计算过程中，自变量和因变量的身份已经不重要了，重要的是x与y之间的函数法则不变。

比如，上面的等式(arc sin x)\’=1/cos y，我们用y\’来替代f\'(x)，即y\’=f\'(x)=(arc sin x)\’。可以得到一个新的等式：y\’=1/cos y。等式里已经看不到自变量x，但这样的表达式也是成立的，因为它已经是一个微分方程了。

无论原函数还是导函数，我们都可以把它看作是一个方程式。式中，无论x、y、x\’、y\’、dy、 dx，都是可以同时存在的，只要它们遵循正确的函数法则。

而我们要做的，是把它们转换成我们需要的样子。

大学必学内容《反函数的导数》

说到导数，想必大家都知道导数的意思

所谓的导数，在数学里就是研究瞬时变化率，在物理里面我们可以将导数称为瞬时速度，这样讲解想必大家都明白一二啦。

那我们来看一下，在数学里面导数怎么用数学式表达。大家可以看出，瞬时变化率就是研究函数在某点处的变化。

大家明白了导数的概念，我们再来看一下，反函数的导数，说到反函数的导数，大家明白什么叫反函数嘛？

我用一个图给大家表示出来了，反函数与原函数的关系。

大家可以看出，原函数的定义域和值域是反函数的值域和定义域。

我们再继续往下看，反函数的导数。

既：反函数的导数等于原函数的导数的倒数。

我们再来看一下该定理的证明，如下所示：

通过上面的学习，我们来看一下反函数导数的求法，我们来看一下反正弦函数，根据定理，我们将反正弦函数的定义域和值域进行变化得到正弦函数模型。再根据公式代入求解。

同理可得下面的反函数导数。

我们再来看一个例题。对数函数求导过程，大家会发现也可以借助反函数进行求解。

通过上面的例题，大家独立完成下面的练习题

本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com