反函数求导例题、反函数求导例题及解析 收藏 0

大学必学内容《反函数的导数》

说到导数，想必大家都知道导数的意思

所谓的导数，在数学里就是研究瞬时变化率，在物理里面我们可以将导数称为瞬时速度，这样讲解想必大家都明白一二啦。

那我们来看一下，在数学里面导数怎么用数学式表达。大家可以看出，瞬时变化率就是研究函数在某点处的变化。

大家明白了导数的概念，我们再来看一下，反函数的导数，说到反函数的导数，大家明白什么叫反函数嘛？

我用一个图给大家表示出来了，反函数与原函数的关系。

大家可以看出，原函数的定义域和值域是反函数的值域和定义域。

我们再继续往下看，反函数的导数。

既：反函数的导数等于原函数的导数的倒数。

我们再来看一下该定理的证明，如下所示：

通过上面的学习，我们来看一下反函数导数的求法，我们来看一下反正弦函数，根据定理，我们将反正弦函数的定义域和值域进行变化得到正弦函数模型。再根据公式代入求解。

同理可得下面的反函数导数。

我们再来看一个例题。对数函数求导过程，大家会发现也可以借助反函数进行求解。

通过上面的例题，大家独立完成下面的练习题

反函数求导数很简单

求导数的学习里，有一个公式好像不太好记，这就就是反函数的求导公式。这个公式是这样的：

假设一个函数是,则这个函数的反函数的导数是

其实，我们只要理解导数的意义，以及函数与其反函数之间的几何关系，这个公式就很显然了，我们来看一个图。

函数与其反函数的几何关系

一个函数和其反函数的几何关系，是这两个函数关于y=x这条直线对称。图中红色函数曲线和紫色函数曲线是互为反函数关系，其中，蓝色点和绿色点对称，如果蓝色点的坐标为，那么其对应的绿色点的坐标为。关于y=x的对称点，也就是把x坐标和y坐标互换一下。

而在一个函数在某点导数的意义，是函数在该点处切线的斜率。图中蓝色点和绿色点处的切线，显而易见，也是关于y=x对称的，也就是说，蓝色点与绿色点切线的斜率互为倒数。

如果这两点理解了，反函数的求导公式就很自然了，因为：

求导公式的左边正是反函数在绿色点处的切线斜率，而公式的右边则是函数在绿色点关于y=x的对称点——蓝色点处的切线斜率的倒数，所以左右是相等的。

当然，图中画的函数曲线只是一个特例，对于其他函数道理也是一样的。

这个公式还是很好记的吧：）

反函数你了解多少？看到这道题基本都放弃了

大家对反函数的第一印象可能就是，自变量和因变量互换位置，函数与反函数关于y=x对称。但是大家常常容易忽略一些问题，比如，什么函数存在反函数？三角函数和反三角函数有什么关系？反函数性质在考研中如何用？

由于反函数在考研中不是重点，因此，反函数的含义和性质往往会成为大家容易忽视的一点，这对想要考高分的同学来说，不是一件好事。

什么函数存在反函数？

是不是任何一个函数都存在反函数呢？

不是，存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时，有且仅有一个y值对应；y取一个具体的数值时，有且仅有一个x值对应。如下图，x取1时，y只取一个数字12，y取12时，x也只能取一个数字1。这就是一一对应关系。

事实上，我们接触更多的是连续函数，而不是离散函数或者分段的不连续的函数。

连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。我们可以通过以下几幅图来理解下连续函数存在反函数的充要条件。

图（A）中函数f(x)是先递增后递减，不是严格单调，因此不存在反函数。从图像上可以明显看到，对于y的某些取值，x的可能取值有两个，说明图（A）中x与y不是一一对应的，自然也就不存在反函数。

图（B）的函数f(x)严格单调递增，因此存在反函数。从图像上也可以清晰看到，对于y的每一个取值，x只有一个值对应；同样，对于x的每一个取值，y只有一个值对应，故图（B）存在反函数。

图（C）的函数是递减函数，但不是严格递减，因此不存在反函数。

连续函数存在反函数的充要条件其实质就是从函数存在反函数的充要条件中推理得出来的。可以结合图形记忆连续函数存在反函数的充要条件。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单点说，就是三角函数的反函数。但其实更具体地、更准确地说法是，反三角函数是三角函数定义在一段单调区间内的反函数。这说明考虑三角函数的反三角函数，必须是在三角函数的一段单调区间内进行。

下面以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例进行说明。

前文说过，连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。从三角函数的图形上看，没有哪个函数在定义域内是严格单调的，但是若将各三角函数缩小到某个区间，三角函数在该区间内就是严格单调的，那么在这个区间内我们就可以定义反三角函数了。

正弦函数sinx在区间[-П/2,П/2]内存在反函数，并记为反正弦函数arcsinx。

余弦函数cosx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余弦函数arccosx。

正切函数tanx在区间[-П/2,П/2]存在反函数，并记为反正切函数arctanx。

余切函数cotx在区间[0,П]存在反函数，并记为反余切函数arccotx。

通过上图的对比可以发现，函数的定义域就是其反函数的值域，函数的值域就是其反函数的定义域。一定要牢记上方三角函数在哪个区间内定义的反三角函数关系表，这对今后的做题很有帮助。

3.反函数重要考点

在考研中，我们需要注意反函数的两个公式和一条性质。

两个公式就是反函数的一阶导数和二阶导数公式，其导数公式内容和推导过程如下所示。

反函数的另外一条性质也很重要但经常被大家忽略。

反函数这条性质说明，对自变量x连续施加运算法则f和反函数运算法则φ,得到的结果是本身。

大家可以仔细品味下这条性质是如何来的。然后看看下面这道题，你会做么？

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