反函数怎么求导;反函数怎么求导公式 收藏 0

借力打力求导数，如果一个函数不好求导，不妨先求它反函数的导数

本篇是上一篇文章

的延续阅读。

在对幂函数y=x^μ求导时，我们用到了以自然常数e为底数的对数函数y=ln x的求导结果（ln x）\’=1/x。那么，它的求导过程是怎么样的呢？我们一起来了解一下。

对数函数y=log(a)x直接求导是很难实现的，因为[log(a)（x+h)-log(a)x]没法继续合并或分解。但前文中，我们已经求得了指数函数y=a^x的导数，(a^x)\’=a^x*ln a。既然两者互为正反函数，我们据此，来推导一下它们的导数之间的关系。

值得注意的一点是，对数函数y=log(a)x和指数函数y=a^x互为正反函数，是从它们的函数法则上讲的。对于反函数y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函数（或直接函数）表达式应为：x=a^y或g(y)=a^y。

设存在一个直接函数（或正函数）x=g(y)（导数已知），它的反函数为y=f(x)。

直接函数（或正函数）x=g(y)的导数g\'(y)=△x/△y，而反函数y=f(x)的导数f\'(x)=△y/△x。所以有f\'(x)=1/g\'(y)。也就是说，正反函数的导数互为倒数。

导数是需要极限运算的，上式中的g\'(y)和f\'(x)略去了极限字符lim，但这不影响两者的互为倒数关系。

我们先对直接函数g(y)=a^y求导，得：g\'(y)=a^y*ln a。

那么，反函数f(x)=log(a)x的导数f\'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f\'(x)=1/（x*ln a），记作(log(a)x)\’=1/（x*ln a）。取a=e时，（ln x）\’=1/x。

比较常见的正反函数还有三角函数和反三角函数。

我们以正弦函数和正切函数为例，来推导一下它们的反函数的导数。

先给出正弦函数y=sin x的导数f\'(x)=cos x，正切函数y=tg x的导数f\'(x)=sec^2 x。在后面的文章里我们会再作推导，欢迎关注阅读。

1、设正弦函数x=sin y为直接函数，它的反函数为反正弦函数y=arc sin x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc sin x)\’=1/(sin y)\’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。

因为，cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)\’=√(1-x^2)。

2、设正切函数x=tg y为直接函数，它的反函数为反正切函数y=arc tg x。略过对定义域的讨论，我们直接推导：

(arc tg x)\’=1/(tg y)\’=1/sec^2 y。接下来，我们把正割sec y转换成正切tg y，并进一步转换成x。

因为，sec^2 y=1+tg^2 y=1+x^2，所以有，(arc tg x)\’=1+x^2。

看到此处，有的小伙伴可能会产生一些困惑：怎么一会y，一会x的，闹哪样啊？

对于反函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量；而对于直接函数（或正函数）x=g(y)，y是自变量，x是因变量。但在计算过程中，自变量和因变量的身份已经不重要了，重要的是x与y之间的函数法则不变。

比如，上面的等式(arc sin x)\’=1/cos y，我们用y\’来替代f\'(x)，即y\’=f\'(x)=(arc sin x)\’。可以得到一个新的等式：y\’=1/cos y。等式里已经看不到自变量x，但这样的表达式也是成立的，因为它已经是一个微分方程了。

无论原函数还是导函数，我们都可以把它看作是一个方程式。式中，无论x、y、x\’、y\’、dy、 dx，都是可以同时存在的，只要它们遵循正确的函数法则。

而我们要做的，是把它们转换成我们需要的样子。

反函数求导数很简单

求导数的学习里，有一个公式好像不太好记，这就就是反函数的求导公式。这个公式是这样的：

假设一个函数是,则这个函数的反函数的导数是

其实，我们只要理解导数的意义，以及函数与其反函数之间的几何关系，这个公式就很显然了，我们来看一个图。

函数与其反函数的几何关系

一个函数和其反函数的几何关系，是这两个函数关于y=x这条直线对称。图中红色函数曲线和紫色函数曲线是互为反函数关系，其中，蓝色点和绿色点对称，如果蓝色点的坐标为，那么其对应的绿色点的坐标为。关于y=x的对称点，也就是把x坐标和y坐标互换一下。

而在一个函数在某点导数的意义，是函数在该点处切线的斜率。图中蓝色点和绿色点处的切线，显而易见，也是关于y=x对称的，也就是说，蓝色点与绿色点切线的斜率互为倒数。

如果这两点理解了，反函数的求导公式就很自然了，因为：

求导公式的左边正是反函数在绿色点处的切线斜率，而公式的右边则是函数在绿色点关于y=x的对称点——蓝色点处的切线斜率的倒数，所以左右是相等的。

当然，图中画的函数曲线只是一个特例，对于其他函数道理也是一样的。

这个公式还是很好记的吧：）

专升本数学导数的十大求导法

1.导数的定义求导数：根据导数的定义求导数，考试一般考的都是在根据导数的定义求某一点的导数。你需要充分的理解导数的定义讲的是什么，熟练掌握如下的导数定义形式：

1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

2）求平均变化率

3）取极限，得导数。需要注意的是这里的可以通过任意的形式出现，考试的时候通常不是，而是或者，你要明白他们实质上是一样的。2.导数的基本公式求导数：y=c(c为常数)y\’=O、y=x^ny\’=nx^(n-1);运算法则:加(减)法则[f(x)+g(x)]\’=f(x)\’+g(x)\’。1导数公式1)·y=a^xy\’=a^xInaу=e^х у\’=e^x2).y=logaxy\’=logae/xy=lnxy\’=1/x3).y=sinxy\’=cosx4).y=cosx y\’=-sinx5)y=tanxy\’=1/cos^2×6)y=cotxy=-1/sin^2×3.导数的四则运算法则求导数：四则运算法则就是加减乘除减法法则:(f(x)-g(x))\’=f\'(x)-g\'(x)加法法则:(f(x)+g(x))\’=f\'(x)+g\'(x)乘法法则:(f(x)g(x))\’=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x)除法法则:(g(x)/f(x))\’=(g\'(x)f(x)-f\'(x)g(x))/(f(x))^2

4.反函数求导法则： 即y对x的导数，是x对y导数的倒数。5.复合函数求导法则：f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),从而(公式):f\'[g(x)]=f\'(u)*g\'(x)举个例子f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x，令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)所以f\'[g(x)]=[sin(u)]\’*(2x)\’=2cos(u),再用2x代替 u，得f\'[g(x)]=2cos(2x).以此类推y=[cos(3x)]\’=-3sin(x)y\’={sin(3-x)]\’=-cos(x)6.高阶导数求导法则：①递推法 ②莱布尼兹公式 7.隐函数求导数法则：方程两边同时对x求导，将y看作复合函数的中间变量；从求导后的方程中解出y’

8.取对数求导数法则：适用于幂指型函数或者函数由几个初等函数经过乘除、平方、开方等构成。方法：先方程两边同时取对数，然后利用隐函数求导方法求导即可。9.参数方程求导数法则：1）y=y(0),对参数0求导dy/d0=dy()/d[左式是求导符号,右式是函数]x=x(0),对参数0求导dx/d0=dx(0)/d0[左式是求导符号，右式是函数]2）用dy/d0除以dx/d0,左式得到dy/dx，右式得到一个关于参数0的函数.这样就完成了.10.分段函数求导数法则：特别要注意分段点处左导是否等于右导。以上就是10种求导数的方法，大家可以对着相关试题进行练习巩固。每年专升本考试中，导数的定义，分段函数求导数，导数的基本公式考的还是很多的，上面说的求导方法希望大家能够全部熟练掌握。

今天，你学废了嘛[灵光一闪]

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