初等函数的图像(正切函数的图像) 收藏 0

一篇短文，让你搞定高中数学函数图像

函数的图像是高考的必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了，再去画图像，不是这里错，就是那里有问题，图像也画的乱七八糟，更甭提利用图像去解题了！

在方法君看来，画函数图像有以下几步：

首先，观察是否是基本初等函数（也就是我们在课本中学过的那几类函数），如果是，那就可以画了；

如果不是，继续第二步，看看是否是经过一系列函数变换的，比如：翻折变换，对称变换，伸缩变换，平移变换等，如果是，那就根据变换的规律画出图像，如果还不是，那基本这个函数图像也不需要你独自画出来了，那种题目基本会考察选择题，能从4个选项中选择出来就可以了！（今天不研究那种函数图像）

下面，给大家整理一下基本初等函数的图像以及函数变换的规律，希望大家能学明白！

基本初等函数的图像

1. 一次函数

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性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减

2. 二次函数

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性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。

3. 反比例函数

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性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。

4.指数函数

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当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图< span>

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不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。

5.对数函数

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当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的

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6. 幂函数y=x^a

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性质：

先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。< span>

7. 对勾函数

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对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。

函数图形的变换

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注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！

例如：

画出函数y=ln|2-x|的图像

通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看。

通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。

所以，我们可以得出：第一步，翻折变换；第二步，对称变换；第三步，平移变换。

有的同学说，第一步是对称变换，也就是先在x上加负号，但是接下来的话，再进行翻折变换，就相当于在-x上加绝对值了，而这个并不是我们学过的规律，所以后面就无法进行变换了，这样也就错了。同学们一定要切记哈！

当然，如果同学们能对这四种变换很熟悉的话，那就可以先对解析式进行变形，化为y=ln|x-2|，这样只经过两步变换即可了！下面是这个函数的图像，

第一步：先画出函数y=lnx的图像

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第二步：进行翻折变换，得到函数y=ln|x|的图像

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第三步：进行对称变换，得到函数y=ln|-x|的图像

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第四步：进行对称变换，得到函数y=ln|2-x|的图像

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基本初等函数知识点、题型归纳总结

基本初等函数

1．幂函数的概念

2．几个常见幂函数的图象与性质

3．常用结论

4.根式的概念及性质

5.分数指数幂

7.指数函数及其性质

8.对数的概念

9.对数的性质、运算性质与换底公式

10.对数函数及其性质

题型一：幂函数的定义及其图像

【方法技巧与总结】

1、5种特殊幂函数的图像及其性质；

2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.

题型二：指数与指数幂的运算

【方法技巧与总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如

的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；

题型三：指数函数的图像及性质

【方法技巧与总结】

1、指数函数的解析式具有单一性；

2、指数函数的单调性和图像与底数有关系.

题型四：对数概念与对数运算

【方法技巧与总结】

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.

题型五：对数函数的图像及性质

【方法技巧与总结】

1、对数的函数的图像画法，定点问题；

2、对数函数的图像及性质应用.

名师彻底讲透初等函数(7)函数图象的绘制

上面我们看到，用解析法、列表法、图象法表示变量间的函数关系，各有优点和缺点。在数学里，虽然主要研究那些能用解析法来表示的函数关系，但是也经常要结合着应用列表法或者图象法．特别是，通过函数的图象，可帮助我们直观地了解函数的性质。

现在，我们举例来说明怎样从一个已知的用解析法表示的函数关系作出它的图象．

例1. 作出函数 y =x²的图象．

【解】第一步，先取 x 的一些值，求出它们所对应的函数值，列成下面的表：

表格1

第二步，在直角坐标系里，画出每一对实数所对应的点．

第三步，用一条平滑的线，根据自变量由小到大的顺序把这些点连接起来。

这样就得到了近似地表示这个函数关系的图象(图2.11).

注 这个图象叫做抛物线．

例2．作出函数 y＝6/x 的图象。

【解】(1）列表

表格2

(2）根据表里的每一对实数值在坐标系里画出它们所对应的点，依照自变量从小到大的顺序用平滑的线把它们连接起来，就得到下图中的两条曲线（图2.12)。

图2.12

注 因为当x=0的时候，6/x没有意义，所以图象不能和y轴相交．图象是由两条曲线所组成的，这个图象叫做双曲线．

上面这两个例子里，画出图象的方法叫做描点法。用描点法所画出的函数的图象，一般只能是近似的，但是图象上的点作得愈多，那末画出的图象也就越精确．

注意 用描点法画函数的图象的时候，要特别注意顺次连接各点的线应该是平滑的线，而不能是折线。例如在例1中如果画成图2.13那样就是错误的。

图2.13

1．用描点法作下列函数的图象：

(1) y =2x+3( x =±3,±2,±1,0);

(2) y=⅛x³( x =0,±1,±2,±3,±4);

(3) y=1/x( x =±¼,±½,±1,±2,±4);

(4) y =√x ( x =0,1,2,3,4,6,9).

［提示：在（3）中，可以用方格纸上的2个方格的边长作为坐标轴的长度单位；在（4）中，可以利用平方根表查出√x 有一位小数的近似值。如果需要，还可以在自变量指定的这些值之间，适当插入几个值，求出它们所对应的函数值，多作出几个点再来描图．]

2．在同一坐标系里作出下面三个函数的图象：

(1) y=2x;

(2) y=2x+3;

(3) y=2x-3;

观察一下这三个图象的形状和位置有什么关系？

3．在同一坐标系里作出下面三个函数的图象：

(1) y =x²;(2) y=x²+2;(3)y =x²-2

观察一下这三个图象的形状和位置有什么关系？

1．常量和变量

在问题的研究过程中

始终取同一数值的量——常量。

可以取不同数值的量——变量。

2．函数

(1）定义——如果有两个变量 x 和 y ，按照某一个法则联系着，当变量在它可取值的范围里取每一个确定的值时，变量 y 都有一个确定的值和它对应，那末变量 y 叫做变量x的函数，变量 x 叫做自变量。

(2）记号—— y 是 x 的函数可以记作

y=f( x )。

(3）定义域——自变量可取值的范围。

(4）值域——函数值可取值的范围．

(5）表示法——解析法、列表法、图象法．

3．用解析法表示的函数y=f(x)的定义域的求法

(1）如果 f ( x ）是整式，定义域是

﹣∞<x<+∞.

(2）如果 f ( x ）是分式，就是

图片

这里P(x)和Q(x)表示整式，函数的定义域由Q(x)≠0确定。

(3）如果 f ( x ）是一个根式：

图片

定义域由 P ( x )≥0确定，

图片

定义域是﹣∞<x<+∞.

（这里k是自然数， P ( x ）是整式．)

4．作函数 y = f ( x ）的图象的方法（描点法）

(1）选择x的一些值求出 y 的对应值，列成表格；

(2）以每一对实数作为点的坐标（ x , y )，画出各点；

(3）依自变量从小到大的顺序，用一条或几条平滑的线把各点连接起来．

1．回答下面的问题：

(1）什么叫做常量？变量？举一个例子；

(2）什么叫做\” y 是 x 的函数\”？举一个例子；

(3）记号 C = F ( t ）表示什么意思？（这里字母 C 表示温度的度数， t 表示时间的小时数．)

(4）平面上的直角坐标系是怎样构成的？

2.(1）已知一个用解析法表示的函数 y=f ( x )，怎样求自变量 x = a 时的函数值？

习题2.1

3.(1)全体实数，(2)x≠1，(3)-1≤x≤1，(4)-1<x<1.

上期链接：

https://m.toutiao.com/is/iN6Nybdn/ – 名师彻底讲透初等函数(6)函数关系的表示法 – 今日头条

下期预告：

第三章 一次函数

§3.1 函数y=kx(k≠0)

1.正比例关系

冰花

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。祝大家新年快乐，龙年行好运！

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