高中数学 | 从本质角度理解函数的性质
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函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时，函数值是否随之满足某些关系．具有某种性质的函数，会同时反应在函数的解析式与函数的图象上，借助于性质的本质，解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来．
以偶函数为例，若函数 是偶函数，那么它的解析式满足方程 ，它的图象关于 轴对称．从偶函数本质上理解：当两个自变量的和为 时，对应的函数值相等，这两个点也恰好关于 轴对称，如图：
如果一个函数 满足对定义域内任意一个 ，都有
那么函数 具有什么性质，图象具有什么特点呢？
从形式上看，这与偶函数的定义不一样，但从本质上来看，仍然满足当自变量的和为 时，函数值相等，所以 仍然为偶函数．
事实上，令 ，则我们得到.
从这个角度出发，我们可以推导，如果函数 的图象关于直线 对称， 的解析式满足的方程．
推导图象关于 对称，意味着自变量的和为 时，函数值相等，所以有
如果你愿意，也可以写成
甚至
因为这些方程都可以导出当自变量的和为 时，函数值相等．
解析式满足的关系式可以从形式上千变万化，但从本质上始终保持一致．抓住性质的本质就可以以不变应万变．
根据上面的思路，由奇函数的定义 ，很容易得到奇函数的本质：当自变量的和为 时，函数值的和也为 ．由此可以推导与中心对称相关的性质．比如：
若函数 满足： ，那么 关于中心对称，因为当自变量的和为 时，函数值的和为 ．
若函数 的图象关于点 中心对称，则有
下面看一个用性质的本质去推导的例子：
求证如果一个函数有双对称轴，那么它一定是周期函数．
不妨以特殊的函数为例进行证明，若函数 的图象关于 与 对称，证明 是周期函数，并求出它的一个周期．
证由 的图象关于 对称知，当自变量和为 时，函数值相等，即
同理有
于是我们得到
这说明当自变量相差 时，函数值相等，这是周期性的本质，故 是周期函数， 是它的一个周期．
最后我们给出一道练习（2009年高考数学全国I卷理科第11题）
函数 的定义域为 ，若与都是奇函数，则
A． 是偶函数
B． 是奇函数
C．
D． 是奇函数
答案 D
提示：令 ，由知，即
同理有
从而有
得到 是周期为 的函数，从而 为奇函数．
注除了从性质的本质角度出发外，利用图象的变换也是一个可以尝试的角度，但有一定的局限性．比如，若 的图象关于 对称知，我们推导 满足的方程．将 的图象向左平移两个单位后，得到的函数的图象关于 轴对称，即是一个偶函数．记，有，从而
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§1.函数概念及其表示法
§2.函数的基本性质
§3.幂函数
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