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三角函数诱导公式表格汇总，分类归纳有利于系统掌握，这点很重要

三角函数的诱导公式一共有54个，其中绝大多数公式又有角度制和弧度制两种表达形式，将这些公式分为六组，每组中的公式具有类似的规律。通过分类归纳，有利于更系统地掌握这些诱导公式。不管是哪一组公式，都要先设一个任意角度α，围绕着这个α来表示这些公式。以下以弧度制为例，介绍各组公式的详情。

第一组公式完全就是周期性的运用，因为常用的三角函数有相同的周期2kπ（k为任意整数），但2kπ未必是唯一的周期。不过根据周期函数的定义，都有：

sin(2kπ+α)=sinα；cos(2kπ+α)=cosα；tan(2kπ+α)=tanα；cot(2kπ+α)=cotα；sec(2kπ+α)=secα；csc(2kπ+α)=cscα。（k∈Z）

在几何意义上，第一组公式表示终边相同的角，三角函数值都相等。

第二组公式是π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

一方面正切和余切都以π为最小正周期，所以tan(π+α)=tanα；cot(π+α)=cotα。

另一方面由正弦函数和余弦函数的定义公式，以及它们在坐标平面上的意义，可以推知sin(π+α)=-sinα；cos(π+α)=-cosα，又由正割与余弦的互为倒数关系，以及余割与正弦的互为倒数关系，就可以知道sec(π+α)=-secα；csc(π+α)=-cscα。

在几何意义上，第二组公式表示终边形成平角的两个角的三角函数关系。

第三组公式是互为相反的两个角的三角函数值的关系。由正弦、正切、余切和余割的奇函数性质，以及余弦、正割的偶函数性质，有：

sin(-α)=-sinα；cos(-α)=cosα；tan(-α)=-tanα；cot(-α)=-cotα；sec(-α)=secα；csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第三组公式表示终边关于始边对称的两个角的三角函数关系。

第四组公式是π-α和α的三角函数值之间的关系，由第三组公式结合第二组公式推得，即：

sin(π-α)=sinα；cos(π-α)=-cosα；tan(π-α)=-tanα；cot(π-α)=-cotα；sec(π-α)=-secα；csc(π-α)=cscα.

在几何意义上，第四组公式表示互补的两个角的三角函数关系。

第五组公式是2π-α和α的三角函数值之间的关系，由第一组公式和第三组公式推得，即

sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα；cos(2π-α)=cos(-α)=cosα；tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα；cot(2π-α)=cot(-α)=-cotα；sec(2π-α)=sec(-α)=secα；csc(2π-α)=csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第五组公式表示两个角的和是周角时，两者的三角函数关系。

最后一组公式是π/2±α 以及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系，很明显，这里面又可以分成四种情况：

(1)π/2-α 与α的三角函数值之间的关系：由三角函数最原始的定义，在直角三角形中，两个锐角的三角函数有如下关系：

sin(π/2-α)=cosα；cos(π/2-α)=sinα；tan(π/2-α)=cotα；cot(π/2-α)=tanα；sec(π/2-α)=cscα；csc(π/2-α)=secα.

如果认为钝角的余角是负角度的话，那么它们表示互余的两个角的三角函数关系。(不过一般认为钝角没有余角)

(2)π/2+α 与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第四组公式推得，即：

sin(π/2+α)=cosα；cos(π/2+α)=-sinα；tan(π/2+α)=-cotα；cot(π/2+α)=-tanα; sec(π/2+α)=-cscα；csc(π/2+α)=secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系：(终边互相垂直有两种情形)

(3)3π/2-α与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2-α)=-cosα；cos(3π/2-α)=-sinα；tan(3π/2-α)=cotα；cot(3π/2-α)=tanα；sec(3π/2-α)=-cscα；csc(3π/2-α)=-secα.

在几何意义上，表示终边关于y=-x对称的两个角的三角函数关系：

(4)3π/2+α与α的三角函数值之间的关系，由公式(2)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2+α)=-cosα；cos(3π/2+α)=sinα；tan(3π/2+α)=-cotα；cot(3π/2+α)=-tanα；sec(3π/2+α)=cscα；csc(3π/2+α)=-secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系的另一种情形：

最后把这些诱导公式全部归纳成表格如下：

这个表格包括行标题：组别，弦度，以及对应的六种常用三角函数。列标题是组别序号，副标题是各弧度。按照第一行第一列是sinα算起，如果要知道cos(2π-α)对应的诱导公式，就找到第五行第二列对应α的三角函数，这个函数是cosα，因此cos(2π-α)=cosα。把表设计成这种形式，会更简洁，且便于查阅。

三角函数的重要公式，你都熟练了吗？网友说不需要它们也能解决

高中数学基础知识非常重要，但是有一些题目却不一定要用到这些基础知识，而是可以选择更简便的方法，特别常见于选择题。比如下面这道2022年新高考数学全国卷II，关于三角函数公式的选择题。当然可以利用几个常用的三角函数公式来解决，但也可以绕开这些公式，解决起来会更简便。

若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π/4)sinβ, 则

A. tan(α+β)=-1；B. tan(α+β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.

分析：这道题当然是有速解的方法的，但是老黄担心你听完速解的方法，就不管一般的方法了，所以决定先讲一般的解法，基础扎实才是王道啊。

一个角的正弦与余弦的和，可以化为这个角与四分之π的和的正弦函数的√2倍，这个公式一定要记牢哦。

如果是sina+cosa=√2sin(a+π/4)的形式，可能更多人容易接受，但这里的角却是“α+β”，有些小伙伴可能就会适应不了了。

然后把等式右边的正弦看作两角和的正弦，一个角是α+π/4，另一个角是β。运用“和的正弦公式”展开，就可以得到√2sin(α+π/4)cosβ+√2cos(α+π/4)sinβ=2√2cos(α+π/4)sinβ.

现在等式两边有同类项，进行移项合并，并且可以选择约掉系数√2，得到：sin(α+π/4)cosβ-cos(α+π/4)sinβ=0.

不过留着√2也不是没用的。现在运用两角差的正弦公式的逆公式，可以得到sin(α-β+π/4)=0.

观察这个式子，有没有发现，它是第一步的一个逆过程，即可以转化为同一个角的正弦和余弦的和的形式，只不过这次这个角变成了“α-β”，而不是“α+β”了。

即sin(α-β)+cos(α-β)=0,从而可知，α-β的正弦和余弦互为相反数。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.

整个解题过程其实是对称的，感觉还是相当解压的。不过这种解法很容易引来网友的吐槽，因为聪明的人太多，他们一眼就能看出，老黄的这个解法太过拖沓。只要运用“特值法”，这道题就可以轻松地解决。聪明人是不会为老黄这样的笨人考虑一下的。下面老黄就给有需要的小伙伴们介绍速解的方法。

只要取β=0，那么就有sinα+cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α+β)=-1，tan(α-β)=-1;，这样就可以排除B、D选项。但却不能肯定C是正确的。因为想要否定一件事情，只需一个特例就足够了。但想要证明一件事情，一个特例却并不足够。

其中β是任取的，只要取一个适合运算的值就可以了，而α并不是任取的，因为一个周期内，有两个α满足正弦和余弦相反的条件。从而在每个周期中都有符合条件的α，这样的α有无穷个，我们只要取一个符合条件，且方便我们运算的就可以了。

再取α=０，同样是任取的。那么就有sinβ+cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ，从而可以在无数个满足条件的β中取β=π/4, 则tan(α+β)=1，排除A. 选C. 虽然理论上我们并没有证明C是正确的，但也没有确定它是错误的。而A，B，D已经确定错误，除非题目没有正确的选项，否则就只能选C。

严格来说，这种方法不能称为简便解法，因为它其实是不严谨的。实际上它是探究问题的一种方法，但一般只是探究问题整个过程中的一个部分，在考试中可以用来解决选择或填空等小题，不能当作一种完整严谨的解法。你怎么看呢？

初中数学：求三角函数值（正弦、余弦、正切）方法（技巧归纳）

求三角函数值，最重要的是利用直角三角形的边角关系，因此，我们就要想办法构造包含所求角或者寻找与所求角相等的角的直角三角形。

也就是说，将实际问题中的边角关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，构造直角三角形。

那么怎么构造直角三角形呢？我们根据初中的数学知识，通过归纳，总结有以下几种方法：

一、有坐标系时，利用坐标系构造直角三角形

方法：利用已知点向坐标轴作垂线。

答案：5/12

二、（1）有正方形或棱形时，充分利用正方形和棱形的对角线相互垂直的性质

方法：连接对角线

（2）有矩形时，充分利用矩形邻边相互垂直的性质

例2、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则AP/PB的值（ ）　，tan∠APD的值（ ）　．

三、利用特殊角的和与差

说明：这种题目一般要用到高中数学三角恒等变换中的两角和与差的正弦、余弦公式，因此，题目条件中一般都会把公式直接写出，我们做题时只要直接套用公式就可以了。

例3、一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°cos30°+cos60°sin30°

四、有特殊角时，通常通过此角构造直角三角形

例4、2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）

五、利用相似三角形（这种情况的考题最多）

这种题目中通常已给出一些暗示，需要你用到相似三角形的知识，比如：

题目中给出了某些线段之间的比例关系或者度数，此时我们通过线段的之间的比例关系或度数关系构造相似三角形（通常是构造与所求角有关的相似直角三角形，如例5、例6，当然这也并非绝对，如例7）

例6、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为　　m．（结果保留根号）

好的，今天的分享就介绍到这里，欢迎持续关注，精彩还将继续！

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