正割函数等于【正比例函数的性质】 收藏 0

三角函数定义及诱导公式

友情提示：本文有点长，将近3000字，分成了两部分发出来。

三角函数是中学数学学习的重点、难点之一。有同学数学学习本来还不错，但从三角函数开始情况变得不再乐观，学习开始发懵，感觉到数学学习力不从心，学习成绩明显下滑：要么概念不能熟练掌握、不好理解；要么觉得公式太多，没办法背熟、记全；要么三角函数特殊角的数值大小、正负记不牢，容易混淆。因而，三角函数成为中学数学学习上的拦路虎，甚至成为部分学生的噩梦。

下面，以平面直角坐标系作为基础，从基本概念开始介绍，希望能够降低三角函数的学习难度，帮助大家更快更好地掌握三角函数。

一、 准备知识

1、 平面直角坐标系

如图1所示，建立平面直角坐标系xOy，坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分，分别称做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。

图1 平面直角坐标系

2、 角度正、负规定

以平面直角坐标系原点O为圆心，做半径为r的圆，半径OA与x轴的夹角记为α，如图2所示。

α角大小的变化，可以看做是A点以r为半径绕原点O转动所致，A点转动的起始位置在x轴上。

图2

规定：从x轴指向半径OA，逆时针时α角为正值，顺时针时α角为负值。

如图3所示，α=45度或者-315度；

图3

如图4所示，α=180度或者-180度。

图4

3、 角度单位：弧度（rad）

大家都知道，角度的常用单位是度，转一圈是360度，平角是180度，直角是90度。

俗话说入乡随俗，到哪道山唱什么歌。在数学、物理等学科，角度的单位一般不再用度，而是用弧度。弧度的英文词汇是radian，缩写成rad，不过人们习惯弧度的单位省略不写。

（1）弧度的定义：弧度制指对于一个圆，用弧长l与半径r之比来度量对应圆心角α角度的方式，如图5所示。

图5

（2）弧度与度的换算

根据弧度定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度；一个圆周长是2πr，其圆心角就是2π弧度，简称2π。弧度与度的换算关系如下：

弧度的精髓就在于它是一个与圆半径无关的量，从而大大简化了有关公式及运算。

4、 半径OA的投影

如图6所示，对于锐角α，A点位于第一象限，半径OA在x轴上的的投影为OB，长度记为x；半径OA在y轴上的的投影为OC，长度记为y，则三角形OBA构成直角三角形。

图6

二、 三角函数的基本定义

在直角三角形OBA中，直边x、y及斜边r与角α的基本关系有六种：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，常用的是前三种函数。

这六种函数的定义如下：

1、 正弦函数

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值，称做α角的正弦函数，简称α角的正弦，记作sinα（sin是正弦一词的英语词汇sine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，sinα=0，最小；当α=90度时，y=r，sinα=1，最大；所以sinα的取值范围有：0≤sinα≤1。

2、 余弦函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比值，称做α角的余弦函数，简称α角的余弦，记作cosα（cos是余弦一词的英语词汇cosine的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，cosα=1，最大；当α=90度时，x=0，cosα=0，最小；所以cosα的取值范围有：0≤cosα≤1。

3、 正切函数

在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比值，称做α角的正切函数，简称α角的正切，记作tanα或tgα（tan、tg都是正切一词的英语词汇tangent的缩写），即

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，y=0，tanα=0，最小；当α=90度时，x=0，y=r，tanα趋于无穷大，发散；所以tanα的取值范围有：0≤tanα<∞。

4、 余切函数

在直角三角形中，锐角α的邻边与对边的比值，称做α角的余切函数，简称α角的余切，记作cotα或ctgα（cot、ctg都是余切一词的英语词汇Cotangent的缩写），即

从定义上可以看出，余切是正切的倒数，有

考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知

从图6上也可以看出，当α=0时，x=r，y=0，cotα趋于无穷大，发散；当α=90度时，x=0，y=r，cotα=0，最小；所以cotα的取值范围有：0≤cotα<∞。

5、 正割函数

正割函数是余弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与邻边的比值，记作secα（sec是正割一词的英语词汇Secant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时，x=r，secα=1，最小；当α=90度时，x=0，secα趋于无穷大，发散；所以cosα的取值范围有：1≤secα<∞。

6、 余割函数

余割函数是正弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与对边的比值，记作cosecα（cosec是正割一词的英语词汇Cosecant的缩写），即

从图6上可以看出，当α=0时， y=0，cosecα趋于无穷大，发散=0；当α=90度时，y=r，cosecα=1，最小；所以cosecα的取值范围有：1≤cosecα<∞。

（待续）

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1.锐角三角函数

锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦(sin)：对边比斜边，即sinA=a/c余弦(cos)：邻边比斜边，即cosA=b/c正切(tan)：对边比邻边，即tanA=a/b余切(cot)：邻边比对边，即cotA=b/a正割(sec)：斜边比邻边，即secA=c/b余割(csc)：斜边比对边，即cscA=c/a

2.特殊角三角函数值

3.互余角的关系

sin(π-α)=cosα, cos(π-α)=sinα,tan(π-α)=cotα, cot(π-α)=tanα.

4.平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

5.积的关系

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

6.倒数关系

tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1

7.诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα

8.两角和差公式

(1)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

(2)sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

(3)cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

(4)cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

(5)tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

(6)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

(7)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

(8)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！

1.半角公式

注：正负由α/2所在的象限决定。

2.积化和差，和差化积公式

(1)2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

(2)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

(3)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

(4)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

(5)sinA+sinB=2sin（(A+B)/2）cos（(A-B)/2）

(6)cosA+cosB=2cos（(A+B)/2）sin（(A-B)/2）

(7)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

(8)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

3.万能公式

其实三角函数公式数量虽多，但大家只要能够做到理解其含义，公式间是可以相互推导的，当然在考试的时候由于解题时间有限，所以还是要在平时多加练习才能加强记忆哦！

最后小面要送大家一首三角函数记忆口诀，希望每个童鞋都能成功通过“三角函数”这道难关：

三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字1， 连结顶点三角形；

向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，

保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1加余弦想余弦， 1减余弦想正弦，

幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，

先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，

简单三角的方程，化为最简求解集。

等一个一键三连

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