正割函数余割函数图像与性质 正割函数和余割函数的性质 收藏 0

微积分基础：导数（二）

（1）初等函数的导数

• 常数函数：
• 幂函数：
• 指数函数：
• 对数函数：
• 三角函数：

例：定义在ℝ上的函数：

求导的具体步骤：

于是得到：。

（2）导数的四则运算

• 加法规则：
• 乘法规则：
• 除法规则：
• 链式法则（复合函数求导）：

导数的导数称为高阶导数。例如：

• 一阶导数：
• 二阶导数：
• n 阶导数：

高阶导数在物理学中常用于描述加速度、加加速度等。

• 求切线方程： 函数 f(x) 在点 x = a 处的切线方程为：
• 判断函数的单调性：

如果 f\'(x) > 0 ，则 f(x) 单调递增；

如果 f\'(x) < 0 ，则 f(x) 单调递减。

• 求极值：

如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) > 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极小值；

如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) < 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极大值。

• 优化问题： 导数可以用于求解最大值和最小值问题，例如在经济学中用于优化利润或成本。

• 求函数的导数：

• 求函数的导数：

数学三角函数正弦、余弦、正割、余割、正切、余切的概念深入解读

进入高中后，同学们都要开始学习三角函数的知识了。

三角函数总共分为六个：

• 正弦（sin）、余弦（cos）；
• 正切（tan）、余切（cot）；
• 正割（sec）、余割（cosec）。

很多学生学完后的感觉就是一个字——绕。

这六个三角函数的彼此关系确实太绕了。今天【十次老师】就为大家深扒一下它们。

正角和余角

1. 正和余的命名原则：在单位圆中，角AOB为正角；角BOE为余角。这两个角互余。劣弧AB为正角AOB所对的弧，我们称为正弧，同理余角BOE所对的弧为余弧。
2. 弦、切、割的命名原则：

• 弦的理解连接两个定点线段

弦的理解

• 切的理解沿着边缘切

• 割线的理解割开分割的含义

正弦+正切+正割

余弦+余割+余切

由这几个长度可以分别构造出两个三角形，我称呼他们为正角三角形和余角三角形。如图：

正角三角形和余角三角形

这个两个三角形彼此相似。

半径（1）：余切 =正切：半径（1）【正切余切互为倒数】

正切的平方+半径（1）的平方 = 正割的平方

余切的平方+半径（1）的平方 = 余割的平方

三角函数大一统图

本文图形采用GeoGebra绘制

编写不宜，希望各位看官们，随手点个赞。

任意三角函数的定义,学好高中数学三角函数必备的基础知识

前言: 现有的高中数学教材对于三角函数的定义, 在定义的时候不是十分的清楚,学生在理解的过程中往往感觉杂乱,没有头绪,本文就给出一个详细的论述过程,且方便记忆

一:任意角的三角函数的定义:

三角函数的定义: r 始终大于0 ,剩余的就看终边在哪个象限.

三角函数是数学中一个极其重要的概念，它主要描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。这些函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）。

任意角的三角函数是指在直角坐标系中，一个角的终边上任取一点P，该点到原点O的距离称为该角的半径，记为r。点P的横坐标记为x，纵坐标记为y。那么，这个角α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割可以通过下面的公式定义：

只要在终边上,比值的比例就会不变

这就是说，对于确定的角α,sina、cosa、tana、cotα、secα、csa都有确定的值，因为它们的值是随着α变化而变化的，当α角取确定值的时候，它们的值也相应地唯一确定，所以，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割都是角α的函数，这些函数都叫做三角函数.很明显，当角α是锐角或钝角时，上面三角函数的定义和锐角、钝角三角函数的定义完全一样，所以锐角、钝角三角函数定义是任意角三角函数定义的特例.

1. 正弦（sin）：正弦函数定义为角α的终边与单位圆相交点的纵坐标与半径r的比值，即 sin α = y / r。

2. 余弦（cos）：余弦函数定义为角α的终边与单位圆相交点的横坐标与半径r的比值，即 cos α = x / r。

3. 正切（tan）：正切函数定义为角α的正弦值与余弦值的比值，即

tan α = sin α / cos α = y / x。

4. 余切（cot）：余切函数定义为角α的余弦值与正弦值的比值，即

cot α = cos α / sin α = x / y。

5. 正割（sec）：正割函数定义为角α的余弦值的倒数，即

sec α = 1 / cos α = r / x。

6. 余割（csc）：余割函数定义为角α的正弦值的倒数，即

csc α = 1 / sin α = r / y。

需要注意的是，这些定义在角度制的单位下是有效的，而在弧度制下，一个完整的圆周对应于2π弧度。因此，在弧度制下，这些三角函数的定义和性质是相同的，只是单位不同。

二: 三角函数sinx的定义:

定义: 变数x的三角函数就是具有弧度数x的角（或弧）的三角函数

例 若x=1.54，求sinx的值。

下面是对这道题的解析，具体内容为“因为，

又1.541.54弧度\’≈88∘14′, 所以\\sin 1.54≈sin88∘14′≈0.9995 在任意大小的角、弧及数之间所能建立的对应，使得我们可以认为三角函数是角的函数，或是弧的函数，或是数的函数，其中变数由我们处理，可以解释为角或解释为弧，或解释为数

三: 三角函数的正负性:

四:总结

1.三角函数可以表示为实数(弧度) 和角度, 一般研究三角函数主要是看弧度 x为实数

2.角的终边决定三角函数的正负性. r>0, (x,y)确定正负性,(x,y)是在不同象限符号不一样

学生要善于从角度到弧度的认知进行转变,

π=180° 即 1弧度=1度/180度.π

x=度数/180度.π 比如30度的弧度=30/180.π=1/6π

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