自动驾驶规划轨迹 — 贝塞尔曲线
在自动驾驶中，路径规划包含全局路径规划和局部路径规划，全局路径规划的结果可以是一系列首尾相连的lane组成或者比较粗糙的路径点集。局部路径规划则通常是符合运动学约束的连续曲线构成的离散点，那这条曲线应该如何表达呢？通常我们表达二维平面曲线的时候有两种方式，单值函数和参数方程。
单值函数：
这种方式y是x的单值函数，耦合性强，自动驾驶中一般不会使用这种方式。
参数方程：
–1 距离：
每个参数p代表了曲线上的某一个点，在某一点也就是某个参数p的位置无穷小的一段ds可以近似为一条直线，那也就是这个p附近的dx dy三角形组成的斜边：
这里我们求出了距离求解的积分形式，但是通常我们是无法得到积分的原函数，也无法得到解析解。所以在离散环境中，我们还是会使用数值积分的方式，将曲线离散成n个离散点，累计求和多个离散点之间的欧式距离来计算距离。
–2 切向角：
–3 曲率：
这里用到了链式法则、反正切函数求导、商求导。
以上我们对一条参数曲线进行了描述，p是控制参数，每个p对应了一个轨迹点，并且可以通过数值解求得对应的距离，通过解析解求得对应的切向角和曲率。
贝塞尔曲线也被称为贝塞尔多项式，是一种由一系列控制点所定义的平滑曲线。看了很多文档，有说次有说阶，大部分描述还是阶，n阶贝塞尔曲线就是n次贝塞尔曲线，方程中参数t最高也是n次，控制点是n+1个。
–1 贝塞尔曲线平滑、连续、基于控制点控制形状
–2 轨迹只能确定起点和终点，中间点无法确定
–3 改变一个控制点整体轨迹改变，牵一发动全身
微积分基础：导数（二）
（1）初等函数的导数
- 常数函数：
- 幂函数：
- 指数函数：
- 对数函数：
- 三角函数：
例：定义在ℝ上的函数：
求导的具体步骤：
于是得到：。
（2）导数的四则运算
- 加法规则：
- 乘法规则：
- 除法规则：
- 链式法则（复合函数求导）：
导数的导数称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：
- 二阶导数：
- n 阶导数：
高阶导数在物理学中常用于描述加速度、加加速度等。
- 求切线方程： 函数 f(x) 在点 x = a 处的切线方程为：
- 判断函数的单调性：
如果 f\'(x) > 0 ，则 f(x) 单调递增；
如果 f\'(x) < 0 ，则 f(x) 单调递减。
- 求极值：
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) > 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极小值；
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) < 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极大值。
- 优化问题： 导数可以用于求解最大值和最小值问题，例如在经济学中用于优化利润或成本。
- 求函数的导数：
- 求函数的导数：
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