5分钟学懂指数函数和对数函数
同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。
今天这节课我们来看指数函数和对数函数。
在教学中我发现有一些同学对这两个函数望而生畏。但老师毫不夸张地说，这两个函数是整个高中阶段性质最简单、解法最常规的一种函数。大家学完今天这堂课就不怵它了。
为什么说是一种函数？因为指数函数和对数函数从定义到性质都是对应的，完全可以放在一起理解。
指数函数的解析式是y=a^x，如果把这个式子里的x和y互换一下，得到x=a^y，把y变换到等式左边，按照对数运算的定义，就变成了y=log(a)x.
不论对于指数函数还是对数函数，解析式中的参数a我们都有个规定的范围，就是a>0且a≠1.那么a就有两种情况，0<a<1或者a>1.
下面先看一下指数函数y=a^x.它的定义域是全体实数，而值域是0到正无穷。
从函数性质看，指数函数是非奇非偶函数，也没有对称性和周期性。它最重要的性质就是单调性。
a>1时在R上单调递增；0<a<1时单调递减。
指数函数还有几个要点：
- 图像以x轴为渐近线，意思就是无限趋近于x轴但不越过；
- 不管a的具体值是多少，a既然不为0，a的零次方都是1，所以任何一个指数函数的图像都经过点（0, 1)，另外还经过一个点（1, a)，也比较常用到。
当然，这两个点其实都是根据函数解析式能直接得到的，并不需要特别去记住。
注意，这里说的都是标准的指数函数，也就是符合解析式是y=a^x的函数，而不是经过图像变换（比如平移或伸缩）以后的指数函数的图像。
再来看对数函数时就能对应上了。首先对数函数的定义域、值域是和指数函数反过来的，对数函数y=log(a)x的定义域是0到正无穷，而值域是全体实数。
对数函数的定义域是正实数集，按照我们一直强调的“定义域优先”的原则，这个要特别注意。
单调性上，对数函数和指数函数是类似的，a>1时在定义域上单调递增；0<a<1时单调递减。
对数函数图像以y轴为渐近线，意思就是无限趋近于y轴但不越过；对数函数的图像都经过点（1, 0)和点(a, 1).
对指数函数和对数函数而言，最重要的就是单调性了，a>1时在R上单调递增；0<a<1时单调递减。我们常用函数单调性来比较指数或对数形式的数的大小。
指数函数与对数函数
- 性质理解：指数函数 y=ax（a>0 且 a=1）具有单调性，当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减。对数函数 y=logax（a>0 且 a=1）也具有单调性，当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减。指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线 y=x 对称。
- 图像绘制：利用函数的单调性和特殊点（如与坐标轴的交点、拐点等）绘制函数图像。注意指数函数和对数函数在 x 趋于正无穷或负无穷时的极限行为。
- 指数运算：掌握指数运算法则，如 am+n=am⋅an，(am)n=amn，a−m=am1 等。利用指数运算法则进行化简和计算。
- 对数运算：掌握对数运算法则，如 logamn=logam+logan，loganm=logam−logan，logamn=nlogam 等。利用对数运算法则进行化简和计算。
- 增长与衰减问题：指数函数常用于描述增长或衰减问题，如人口增长、细菌繁殖、放射性衰变等。根据题意建立指数函数模型，并利用函数性质求解问题。
- 对数问题：对数函数常用于解决与比例、倍数、对数表或对数尺相关的问题。根据题意建立对数函数模型，并利用函数性质求解问题。
- 识别函数类型：根据题目描述或函数表达式识别出是指数函数还是对数函数。
- 利用函数性质：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质进行求解。
- 建立数学模型：根据题意建立合适的数学模型，如指数函数模型或对数函数模型。
- 求解与验证：利用函数运算法则和性质进行求解，并验证结果的合理性。
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