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分部积分法公式：一种简化积分计算的神奇方法

在高中数学中，我们学过微分法则，其中有一个重要的法则叫作乘积函数求导法则，它告诉我们如何求两个函数相乘的导数。例如，如果我们有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积函数u(x)v(x)的导数就是

这个法则很有用，因为它可以帮助我们求一些复杂函数的导数。但是你有没有想过，如果我们反过来，从这个法则出发，能不能得到一些关于积分的结论呢？答案是肯定的，这就是我们今天要介绍的分部积分法公式。

要推导分部积分法公式，我们只需要对乘积函数求导法则两边同时求不定积分就可以了。也就是说，我们要求出下面这个等式的两边的原函数：

根据微积分基本定理，我们知道(uv)′的原函数就是uv，而u′v+uv′的原函数就是∫u′vdx+∫uv′dx。所以我们可以得到：

整理一下，就得到了分部积分法公式：

或者写成另一种形式：

这个公式看起来很简单，但是它却有着非凡的作用。它可以帮助我们把一些难以直接求出的积分转化成更容易求出的积分。下面我们来看几个例子。

这个积分也不容易直接求出，因为它涉及到对数函数。如果我们用换元法来求解，可能会遇到一些困难。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很方便。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=lnx和v=1。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。这样我们就轻松地求出了这个积分。

这个积分也比较复杂，因为它涉及到指数函数和三角函数。如果我们直接用基本积分公式或者换元法来求解，可能会很繁琐。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很巧妙。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=e^x和v=sinx。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。注意到最后一步中又出现了原来要求的积分∫e^xsinxdx。这时候我们可以把它移到等号左边，并且把系数合并起来，得到：

通过上面的例子，我们可以看到分部积分法公式是一种非常强大而灵活的工具，它可以帮助我们简化一些复杂的积分计算，并且提高我们对于不同类型函数之间关系的理解。当然，在实际应用中，并不是所有的积分都适合用这种方法来处理，有时候还需要结合其他方法或者技巧来求解。但是只要掌握了基本原理和技巧，并且多加练习和思考，相信你一定能够运用自如，并且享受其中的乐趣。

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欧冠、欧联和欧协会杯俱乐部和足协指数计算规则

2024/2025赛季开始，欧足联给欧战三级赛事均进行了扩军，引入了足协欧战指数和俱乐部欧战指数的概念，其中影响力最大的欧冠方面，将分别给前一赛季欧战指数最高的两个足协各一个额外指标，2024/2025赛季分别给了德甲和意甲各1个欧战指数名额，这两个足协将有5个直接欧战名额。

一、足协欧战指数积分规则

协会的积分根据参加欧战三级赛事的所有俱乐部获得的积分相加，然后除以参战俱乐部数量，数据精确到千分位。

正赛积分按照赢一场2分，平一场1分，输球不积分的规则计算。参加资格附加赛的赛事积分减半。

欧足联对于不配合参战的俱乐部和足协都给出了处理措施，获得资格而拒绝参赛或者因为其他原因被剔除参赛资格而又没有其他俱乐部递补参赛的，协会积分按照获得的积分总数除以因当参赛俱乐部数量计算。这个意思是，俱乐部应该参加而没有参加的，足协受罚，最终他的积分会因此受影响。

足协的指数排名将决定下一赛季欧冠欧战指数名额给哪两个排位高的足协，因此此举在于敦促和刺激足协积极配合欧足联参与三级杯赛。

二、俱乐部欧战指数

俱乐部的指数与足协指数不同，俱乐部的指数是简单的根据积分规则将每场欧战积分相加，足协指数是需要在所有俱乐部获得的积分总数上除以俱乐部数量。

三级赛事和资格附加赛积分规则都有不同。

（1）三级赛事积分计算规则是：

a. 参加资格附加赛被淘汰的球队，因为他们可能去参加下一级赛事，比如欧联或者欧会杯，因此他们的积分按照欧联或者欧会杯计算。

正赛积分按照赢一场2分，平一场1分，输一场0分的规则计算。

b. 同理，欧联杯也是如此计算，参加欧联资格赛被淘汰的球队，按照欧会杯规则计算，参加正赛的球队积分规则跟上面欧冠积分一样。

唯一不同的是，欧联杯积分对于参战的俱乐部有3分保底，也就是成绩太差了，直接给3分。但是这保底三分不能用于上述足协指数计算，足协指数计算仍按实际分数计算。

c. 欧会杯的淘汰赛积分就不一样了。

欧会杯在第一轮附加赛就淘汰的给1分，第二轮淘汰的给1.5分，第三轮淘汰的给2分，最后一轮附加赛淘汰的给2.5分。

正赛积分也是按照赢一场2分，平一场1分，输一场0分的规则计算。

对于参加欧会杯的球队，欧足联同样给予了照顾政策，会给予2.5分的保底积分。不能用于上述足协指数计算，足协指数计算仍按实际分数计算。

（2）与排位相关的奖励积分

除了比赛输赢积分，为促进俱乐部积极取得好成绩，欧足联对于排位给予了奖励积分，所有36支球队都有。

欧冠冠军奖励12分，欧联冠军奖励6分，欧会杯冠军奖励4分。按照级差以0.25的数字递减，欧冠最低分是6分，其他欧联杯和欧会杯最低分为0，三级赛事最后一名分别是6、0、0。

（3）淘汰赛奖励积分

进入三级赛事16强及以上淘汰赛的球队，欧冠、欧联和欧协会杯将在每一轮分别获得1.5分、1分和0.5分的额外奖励积分。这些积分和上述排位积分一样，带入足协积分计算中。

（4）俱乐部过往5年和10年的欧洲积分

需要特别指出的是，俱乐部的过往5年和10年欧战指数，欧足联给出了一个保底政策，就是对比俱乐部过往相应年份累积的指数和对应足协过往年份累积指数的20%，取两者较高者做为俱乐部指数。什么意思呢？假如俱乐部参赛成绩太差，积分太低，为了鼓励你继续参加，哪个计算方式利于你，你就取哪个指数。这个指数在抽签、空缺递补等方面可能会用到。

（5）俱乐部或足协积分相同情况下的处理原则

a.俱乐部积分相同处理原则

简而言之，依次按照下列原则处理：看最近一个赛季积分、依次看前一个赛季积分直到不同、看各自对应的足协积分、看最近一个赛季各自联赛排名，最终确定俱乐部欧战指数排名。

b.足协积分相同处理原则

足协排名处理原则：看最近一个赛季指数、看过往赛季指数排名直到不同。

三、最新欧战指数足协排名

本赛季截至目前，根据欧足联官网更新的信息，足协欧战指数排名最高的是意大利和德国，尽管英超和西甲参赛队伍最多，达到8支，但是其总分和平均分都不占优，说明这两个协会下的某些俱乐部欧战成绩不行，尽管西甲皇马闯入决赛，但是其他俱乐部严重拖后腿。

新的一个赛季如果英超和西甲不能扭转颓势，那么欧战指数新增的名额，这两足协将很难竞争过德甲和意甲，这对号称全世界最强的两个联赛，着实非常尴尬。

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