指数函数与一次函数 指数函数与一次函数交点 收藏 0

必修一第四章：指数函数与对数函数

一、本章之前，我们学过的函数有哪些？(1）正比例函数；(2）反比例函数；(3）一次函数；(4）二次函数；(5）幂函数。

在本章，我们将要学习哪些知识？(1）指数幂的运算、对数的运算；(2）指数函数、对数函数的定义、图象和性质；(3）函数零点的定义与判断；(4）函数模型的应用。

二、本章我们需要掌握的内容有：

6个重要概念：根式、指数幂、指数函数、对数、对数函数、函数的零点；

2类重要运算：指数幂的运算、对数的运算；

2个重要公式：对数恒等式、对数换底公式；

2类重要函数：指数函数、对数函数；

1个重要定理：零点存在定理；

1个重要应用：函数模型的应用。

三、思想方法归纳

1，数形结合的思想

借助于函数图象；借助于代数式的结构特征；借助于几何方法；借助于几何图形所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。用分析图形的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观形象的作用，另一方面要注意画图的准确性、完整性和对图形的观察是否细致，并注意结合数学运算来完成。

2，函数与方程的思想

函数f(x)的零点对应着方程f(x)=0的实数根。方程的问题可以利用它对应的函数的性质来解决，而函数的许多问题则需要利用方程来解决，函数思想是从变量出发研究整体的性质，而方程思想则是从未知数的角度出发，研究函数在某一状态下的性质。

3，分类与整合的思想

四、专题归纳总结

1，函数零点及其应用

函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间存在着密切的联系，方程f(x)=0的实根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，许多有关方程的问题可以用函数的方法来解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

a,方法归纳：判断函数零点个数的三种方法：

(1）转为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；

(2）画出y=f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数；

(3）转化为两个函数图象交点问题。例如，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数，也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的个数。

b,方法归纳：已知函数的零点（方程的实根）求参数取值范围的常用方法：

(1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数范围；

(2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。

2，数学建模思想的应用

针对一个实际问题，应该选择恰当的函数模型来刻画，因而应深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型有清晰的认识。对于一个具体的应用题，原题中数量间的关系一般是以文字和符号的形式给出的，也有的是以图象的形式给出的，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果。

建立数学模型的步骤：

(1）审题。弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。

(2）建模。将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言，即用等式表达，用数学知识建立相应的函数模型，即写出相关的函数解析式（注意函数的定义域）。

在实际问题中，对一个问题进行了有限次的测量或观察，得出了一系列的数据，而我们在建立数学模型时并不能确定该问题用什么函数模型来研究，在此情况下，图形起到了极其重要的作用。对这类问题，我们一般是先根据已知的数据作出散点图，观察点分布的规律，寻求恰当的函数模型，再用待定系数法求得函数解析式，并进行检验，检测其符合程度，若符合，则可借助该函数模型进行预测；若不符合，则重新寻找函数模型，直到找到合适的为止。

建立函数模型解决实际问题的流程图：

收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验不符合实际（再次选择函数模型）

符合实际

用函数模型解释实际问题

高中生必会！高一数学建模：一次、二次、指数函数模型的选择问题

数学建模是高中数学的重点，在高一数学函数这一章节中，重点研究函数模型。

这个题目是函数模型的选择问题，题目给出了某个鞋厂今年一月份开始投产后前四个月的产量，分别为1万双，1.2万双，1.3万双和1.37万双。由于产品的质量好，款式新颖。前几个月销售情况非常的良好。为了让推销员在推销产品的时候，接受订单，不至于过多，或者是过少，需要估计以后几个月的产量。

厂里暂时不准备增加设备和工人，由于工人理顺了生产的流程，生产也越来越熟练了，产量也在增加，但是不能无限制地增加下去。

比如原来生产一双鞋，可能用一个小时，熟练了以后能不能一秒就生产出一双鞋呢？那显然是不现实的。

如果你是厂长，就月份x产量y，给出了三种函数模型。

第一种是一次函数模型，第二种是二次函数模型，第三种是指数类函数模型。你会用哪一种模型去估算以后几个月的产量呢？

那你思考，如果是一次函数，根据函数的增减性，要么是永远增上去，要么是永远减下来。增加或减少的速度保持恒定，这个不现实。

如果使用二次函数的话你画出图像，看看增减性，增长速度越来越快，这个也不现实，所以说我们可以考虑第三种模型。

我们借助数据算一下，根据计算我们确定指数模型是比较恰当的。

通过数据比较上述三个模型，我们一定要理解，我们选择的是哪一个误差最小，而且还要符合我们的生产实际，我们就选择哪一个。本题的关键是工厂在不更新设备、不增加工人的情况下，一定会趋于稳定，而指数函数模型恰好地反映了这么一种趋势。

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