指数函数a为什么不能小于0;指数函数a为什么不能小于0或等于1 收藏 0

高中导数基本初等函数公式全解析：初学者必学，巧记方法助力进阶

高中导数运算中，在理解概念后，基本的初等函数的导数公式可是必须要好好掌握的内容呀！否则高中阶段后续的数学学习寸步难行，记忆这些公式还是有巧妙方法的了。

（如果不理解导数概念可以看下 ）

常见基本初等函数的导数公式可以分为5大类，大概如下：

像常数函数若，它的导数为0。想想看，常数就像一个静止的量，没有变化趋势，比如函数y = 5，不管x咋变，y始终是5，没变化，那导数自然就是0啦。

幂函数的导数公式(xⁿ)\’ = nxⁿ⁻¹也很关键。举例来说吧，函数y = x² ，按导数计算公式，它的导数就是2x 。其实就是把原来的指数拿下来当系数，指数再减1 。那y = x³ 的导数就是3x² 。大家不妨试试算下y = x⁴ 的导数。

指数函数y = aˣ （a > 0且a≠1），导数是y\’ = aˣlna 。特别注意的，当a = e时，y = eˣ ，它的导数就是它本身eˣ ，是不是很神奇 大家可以算算y = 2ˣ 的导数哦。

（e是什么？e是一个重要的数学常数，它是自然对数的底数，约等于2.71828。e有很多奇妙的性质和应用哦。从数学定义上来说，它可以通过极限的形式来表示，即。其实，在很多实际问题中，比如在研究连续复利、放射性衰变、生物种群增长等自然现象和经济问题时，e都起着非常重要的作用。函数的导数还是它本身这个性质，在高中阶段记住，直接运用就可以了啦！）

对数函数（a > 0且a≠1）的导数是。需要特别注意的是当a = e时，f(x) = lnx ，导数就是1/x 。比如求y = ln2x 的导数，要用到复合函数求导法则，先记住lnx导数是1/x这个基础哦。

y = ln2x 的导数推理过程

三角函数的导数也不能忽视。正弦函数y = sinx ，导数是y\’ = cosx ；余弦函数y = cosx ，导数是y\’ = -sinx 。其实，联想下它们的图像，能帮助我们记忆呢。

首先呢，咱们画出正弦函数y = sin x和余弦函数y = cos x的图像。正弦函数的图像就像波浪一样，在(x = 0)的时候，它是处于上升趋势的，对吧？这时候它的切线斜率是正的，而此时余弦函数

y=cos x在x = 0处的值cos0 = 1是正的。

正弦函数y=sin x 余弦函数y = cos x

随着(x)的增大，当正弦函数(y=sin x)到达波峰，也就是的时候，它在这一点的切线斜率为0)，而此时余弦函数y = cos x在处的值为0。

再继续看，正弦函数过了波峰开始下降，在(x=π)的时候，它的切线斜率是负的，而此时余弦函数y=cos x在此处的值也是负的。

从正弦函数(y=sin x)整个图像上看，它在各个点处切线斜率的变化趋势和余弦函数y=cos x的值的变化是对应的，所以我们就可以联想记忆正弦函数的导数是余弦函数，即(sin x)\’=cos x。

那对于余弦函数y=cos x呢，同样看它的图像。它在x = 0的时候，是处于水平状态然后开始下降的，切线斜率是0然后变为负的，而此时正弦函数y=sin x在x = 0处的值 0，随着x增大，它的切线斜率的变化趋势和正弦函数y = sin x的值的变化是对应的，只不过是相反的关系，所以余弦函数的导数是负的正弦函数，即(cos x)\’=-sin x。

要快速记住以上这些基本初等函数的导数公式，一方面要理解推导过程，另一方面得多做练习题，通过运用加深记忆。实在理解不了，那就记住直接拿来运用也是一个策略[呲牙]。

对数函数的图像与性质：y = log_a x（a > 0 且 a ≠ 1）

朋友们，上期视频讲过了一个指数函数，这期视频讲对数函数。对数函数就是反函数，记得对数函数的底数a跟指数底数a其实是一个a过来的，所以它们都满足底数大于零点不等于一。一样的大于零不等于一就分两种情况，包括a大于零小于一以及a大于一。

前面说过了指数小于的时候是递减，对数这里还是递减的，非常好记。大于一的时候是递增，一样的也是递增的，所以类比一下非常好记。

看图像之前先看一下它的定义域，定义域在对数函数这里，函数x定义域，函数x要大于零，大于零属于图像，只在y的右边，就是x的正半轴这边才有图，所以图像长这样要区别。

当a大于零小于的时候是递减的，递减的就要长这样，这个点是一逗号零，记住。大于一的时候图像是递增的，一样的x大于零只在x正半轴黑图，所以长这样，这个点是一逗号零，这两个图像把它记好。

单调性已经清楚了，还有个就是基友性，图案一样的，没有对称性，单个的对数也是一样的，非j非偶非j非偶函数，已经清楚了，它是一个大二零的。

结合图像再来看它的子欲，图像子欲y上下看是不是副无穷到正无穷都有图，两边都是无限延伸的，所以子欲y属于r，也就是副无穷到正无穷，这是它的子欲。

还有一个比较爱考的就是定点问题，定点这个地方已经过一逗号零，因为用的是一的对数等于零，所以要去看一个对数过定点，怎么看？另增数等于一，比如举个例子，定点问题，例子以a为底，x减一的对数，这是个函数y等于这个，问这个函数过哪一个定点想一下，怎么做令这个增数这一坨等于一，所以x减一等于一，x等于二等于二，所以二逗号多少？

带进去二逗号多少？变成了这个地方就变成了一的对数等于零，所以二逗号零过这一个定点，明白没？

接着还一个爱考的，在对数这里爱考就是什么？它的定义，比如老师举个例子，一个函数fx长这样等于一，就log x，注意后面减个一，分之一，这个函数的定义域是多少？答案打在评论区，稍微一点点复杂，想一下，想清楚。ok答案打在评论区。

这就是一个对，非常简单把图像记好就行了，它是个非机非偶的，单调性跟指数一样，然后它的定义跟值域反着来，跟子函跟指数函数反着来，说白了就是x和y负掉，对掉了，一个指数一个对数，负一反函数，所以它们的指域跟地域是反着的。

深入理解指数函数 – 指数函数的图像和基本性质

上一篇文章我们介绍了对数函数，本文介绍指数函数，大家可以搭配着看，以期加深对它们的理解。

指数函数是几个非常重要的初等函数的之一，本文从指数运算的基本性质出发，介绍指数函数的定义，图像特性，单调性，及其反函数等。

指数运算的基本性质和范例

类似于以下形式的函数：

（a>0且a≠1）

被称作指数函数，其中 （a>0且a≠1）。

a>1时的函数图像：

a>1时的函数图像；定义域：x ∈ R；值域：y> 0；过定点(0, 1)；单调递增

a<1时的函数图像：

a<1时的函数图像；定义域：x ∈ 0；值域：y> 0；过定点(0, 1)；单调递减

指数函数的图像特性

底数互为倒数的指数函数的图形，关于y轴对称

指数函数：

由对数函数的定义，可得：

由反函数的定义，将 x, y 互换，得到①的反函数：

a>1时，指数函数和其反函数的图像如下图：

a>1时

a<1时，指数函数和其反函数的图像如下图：

a<1时

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