初等函数在定义域内一定连续吗、基本初等函数的图像与性质 收藏 0

函数定义域浅谈

在某变化过程中有两变量X 和Y，对X的每一个值，Y都有唯一确定的值与其对应，则称Y为X的函数。将函数存在的X的取值范围称为函数的定义域。象分母不能为零、偶次开方的被开方数非负、对数的真数大于零、对于两个函数形成的复杂函数必须是每一个函数同时成立。

函数定义域应用应用广泛。尤其是求函数极限时都不自觉地服从了函数的定义域。求分式函数当自变量趋于某确定值的极限时，如将自变量值带进去后，分式的分子分母同为零，说明分式函数在自变量处有间断点，只有分子分母分解因式约分变成最简分式后，方可带自变量值求极限。这样的过程就是遵循分母不能为零的原则。也可以说就是要使分式函数在自变量处有定义。

一切初等函数在其定义域上均为连续函数。只有连续函数在自变量处的函数值才为极限值。有力说明了初等函数在定义域上取值才连续、才有极限的道理。

可导必连续，连续不一定可导。函数的不定积分与导数互为逆运算。函数在有限个第一类间断点处或连续时，定积分才存在。无不说明函数的定义域与微积分的密切关系。此外，函数定义域在函数绘图及广义积分等方面也有重要应用。

考研数学：高等数学十大高频易错点

高等数学可谓是考研数学的重点，不仅题量大，分值比例也高，是决定考研数学成败的关键。针对考研高等数学的复习，唯学网小编为大家准备了2016考研高等数学十大高频易错点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高等数学。

1.函数连续是函数极限存在的充分条件。若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。若函数在某点不连续，则该函数在该点不一定无极限。

2,若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。

3.基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

4.在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

5.设函数y=f(x)在x=a处可导，则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是:f(a)=0,f\'(a)不等于0.

6.无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。

7.可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。

8.在求极限的问题中，极限包括函数的极限和数列的极限，但在考试中一般出的都是函数的极限，求函数的极限中，主要是掌握公式，有些不常见的公式一定要记熟，这种类型的题一般属于简单题，但往更难一点的方向出题的话，它会和变上限的定积分联系在一起出题。

9.在运用两个重要极限求函数极限的时候，一定要首先把所求的式子变换成类似于两个重要极限的形式，其次还需要看自变量的取极限的范围是否和两个重要极限一样。

10.介值定理和零点定理的巧妙运用关键在于，观察和变换所要证明的式子的形式，构造辅助函数。

罗尔中值定理，最基础的应用，一看就懂，特别适合初学者

这是一道关于罗尔中值定理最基础的应用题目。有些同学刚学罗尔中值定理，可能能够记得它的内容，甚至也能理解，但是就是不知道该怎么用，那么学这道题就对了，它会从正反两个方面，给你演示罗尔中值定理是怎么应用的。我们来看题吧：

试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.

(1)f(x)={xsin(1/x), 0<x<=1/π；0, x=0}; (2)f(x)=|x|, -1<=x<=1.

如果你不知道该怎么做，就先复习一下罗尔中值定理的内容：

若函数f满足如下条件：

1)f在闭区间[a,b]上连续；

2)f在开区间(a,b)内可导；

3)f(a)=f(b)，

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0.

很明显，函数(1)对应定理中的区间是[0,1/π]和(0,1/π)；而函数(2)对应定理中的区间是[-1,1]和(-1,1).

首先我们要看看它们在各自的闭区间上是否连续，在各自的开区间上是否可导，即检验条件1和条件2.

这两个函数其实都是分段函数，每段函数都是初等函数，根据初等函数在定义域内都是连续函数，可知，两个函数在对应的闭区间上都是连续的。

而函数(1)在(0,1/π)上可导，它的导函数是f\'(x)=sin(1/x)-cos(1/x) /x，其实解这道题并不需要求导，只要知道它可导就行了。而函数(2)在x=0是不可导的。所以函数(1)符合罗尔中值定理的前两个条件，函数(2)不符合罗尔中值定理的条件2. 不过不符合条件2并不能说明就一定不存在一点ξ，使得f’(ξ)=0，只能说不一定存在。

不过由于函数(2)在(-1,0)U(0,1)上的导数值不是-1, 就是1，因此，这个点的确是不存在的。

接下来检验函数(1)的条件3. 不难检验得到f(0)=f(1/π)=0，因此函数(1)符合罗尔中值定理的所有条件，所以函数(1)就在(0,1/π)上存在一点ξ，使得f’(ξ)=0. 函数(2)就没有必要检验条件3了。

接下来组织解题过程：

解：(1)f(x)在[0,1/π]上连续，在(0,1/π)上可导, 且有f(0)=f(1/π)=0,

由罗尔中值定理知，存在一点ξ∈(0,1/π)，使得f’(ξ)=0.

(2)f(x)在[-1, 1]上连续，但在(-1,1)内x=0上不可导,

∴不一定存在一点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.

又 f\'(x)={1, x>0; -1, x<0}，∴不存在一点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.

怎么样？是不是很简单，一看就会啊！

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